**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 2**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $\sqrt{2} \cdot (3 + \sqrt{2}) - \sqrt{18} = 3\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{18} =$ **2p**

$= 3\sqrt{2} + 2 - 3\sqrt{2} = 2$ **3p**

**2.** $a + 1 = 3a + 7$ **3p**

$a = -3$ **2p**

**3.** $4 + 2x = 16$ **3p**

$x = 6$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile **2p**

Divizorii numărului 18, din mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră, sunt 1, 2, 3, 6 și 9, deci sunt 5 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{5}{9}$ **1p**

**5.** $A \in OB \Rightarrow m_{AO} = m_{OB}$ **2p**

$-2 = \frac{a}{3}$, deci $a = -6$ **3p**

**6.** $\Delta ABC$ este dreptunghic în $A$ și măsura unghiului $C$ de două ori mai mare decât măsura unghiului $B$, deci $\sphericalangle B = 30^\circ$ **2p**

$AC = \frac{BC}{2}$, de unde obținem $AC = 2$ **3p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** $1 * 2 = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - 3 \cdot 1 \cdot 2 - 2 =$ **3p**

$= 3 - 2 = 1$ **2p**

**2.** $x * y = 1 - 3xy + 3x + 3y - 3 =$ **3p**

$= 1 - 3x(y - 1) + 3(y - 1) = 1 - 3(x - 1)(y - 1)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**3.** $x * \frac{2}{3} = 1 - 3(x - 1)\left(\frac{2}{3} - 1\right) = 1 + x - 1 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{2}{3} * x = 1 - 3\left(\frac{2}{3} - 1\right)(x - 1) = 1 + x - 1 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = \frac{2}{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**4.** $(2 - x) * 2 = 3x - 2$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$3x - 2 = 2 + x$, de unde obținem $x = 2$ **2p**

**5.** $1 - 3(m - 1)(n - 1) = 19 \Leftrightarrow (m - 1)(n - 1) = -6$, unde $m$ și $n$ sunt numere naturale **2p**

$m$ și $n$ sunt numere naturale, deci $m - 1 \ge -1$ și $n - 1 \ge -1$, de unde obținem $(0, 7)$ și $(7, 0)$ **3p**

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**6.** $a * 1 = 1$, $a * 2 = 4 - 3a$, $a * 3 = 7 - 6a$, deci $(a * 1) + (a * 2) + (a * 3) = 12 - 9a$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$12 - 9a = 3a^2 \Leftrightarrow a^2 + 3a - 4 = 0$, de unde obținem $a = -4$ sau $a = 1$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - (-1) \cdot (-2) =$ **3p**

$= 4 - 2 = 2$ **2p**

**2.** $xA - 2I_2 = \begin{pmatrix} x & -x \\ -2x & 4x \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} x - 2 & -x \\ -2x & 4x - 2 \end{pmatrix} = B(x)$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**3.** $A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -10 & 18 \end{pmatrix}$ **3p**

$B(5) = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -10 & 18 \end{pmatrix}$, deci $A \cdot A = B(5)$ **2p**

**4.** $\det(B(x)) = 2x^2 - 10x + 4$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$2x^2 - 10x + 4 = 4 \Leftrightarrow x^2 - 5x = 0$, de unde obținem $x = 0$ sau $x = 5$ **2p**

**5.** $B(xy) - xB(y) = xyA - 2I_2 - x(yA - 2I_2) = xyA - 2I_2 - xyA + 2xI_2 =$ **3p**

$= 2xI_2 - 2I_2 = 2(x - 1)I_2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**6.** $B(2^x \cdot 3^x) - 2^x B(3^x) = 2(2^x - 1)I_2$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$2(2^x - 1) = 6$, de unde obținem $x = 2$ **2p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare