**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 2**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $(1+i)^2-2(1+i)+2=0$, unde $i^2=-1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+ax-5$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $M(1,2)$ aparține graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_4\left(x^2+1\right)=\log_4 x+\log_4(x+1)$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 2 și cu 5.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(3,4)$, $N(0,1)$ și $P(3,0)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $P$ și este paralelă cu dreapta $MN$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $C$. Arătați că $\text{tg } B = \frac{1}{\text{tg } A}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a)=\begin{pmatrix} a+2 & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ 3a & 0 & 2-3a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0))=8$.

**5p** **b)** Determinați matricea $B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$, știind că $aB=A(a)-2I_3$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural $n$ pentru care $\det(A(n) \cdot A(-n))>0$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \frac{1}{2}(x+y+ x-y )$.

**5p** **a)** Arătați că $2 * 0 = 2$.

**5p** **b)** Demonstrați că, dacă $a$ și $b$ sunt numere reale astfel încât $a \le b$, atunci $a * b = b$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $(2x) * \left(x^2+1\right) * (-2x) = 10$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x-\sqrt{x^2+3}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care ecuația $f(x)=a$ are soluție.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+x+3}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^2 \left(x^2+x+3\right) f(x) dx = 2$.

***

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{1}^{2} g(x) d x=\ln \frac{9}{5}$, unde $g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{2 x+1}{x} \cdot f(x)$.

**5p** **c)** Se consideră numerele reale $a$ și $b$, cu $0 \leq a<b$. Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_{n}=\int\limits_{a}^{b} f^{n}(x) d x$. Demonstrați că $\lim _{n \rightarrow+\infty} I_{n}=0$.

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