**Examenul național de bacalaureat 2021**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 2**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(1+i)^2-2(1+i)+2=1+2i+i^2-2-2i+2=$ **3p**

$=1-1=0$ **2p**

**2.** $f(1)=2 \Rightarrow 1+a-5=2$ **3p**

$a=6$ **2p**

**3.** $\log_4(x^2+1)=\log_4(x(x+1))$, deci $x^2+1=x^2+x$ **3p**

$x=1$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $9$ numere divizibile cu $2$ și cu $5$, deci sunt $9$ cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$ **1p**

**5.** $m_{MN}=1$ și, cum dreptele sunt paralele, obținem $m_d=1$ **3p**

$P \in d$, deci ecuația dreptei $d$ este $y-y_P=m_d(x-x_P)$, adică $y=x-3$ **2p**

**6.** $\text{tg } A = \frac{BC}{AC}$ **2p**

$\text{tg } B = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{\frac{BC}{AC}} = \frac{1}{\text{tg } A}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} =$ **2p**

$=8+0+0-0-0-0=8$ **3p**

**b)** $A(a)-2I_3 = \begin{pmatrix} a+2 & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ 3a & 0 & 2-3a \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 0 & 0 \\ 3a & 0 & -3a \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$aB = a \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$, deci $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ **2p**

**c)** $A(n) \cdot A(-n) = \begin{pmatrix} 4+2n^2 & 0 & -2n^2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 6n^2 & 0 & 4-6n^2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(n) \cdot A(-n)) = 64(1-n^2)$, unde $n$ este număr natural **3p**

$64(1-n^2) > 0$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n=0$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $2 * 0 = \frac{1}{2}(2 + 0 + 2 - 0 ) =$ **3p**

$= \frac{1}{2}(2 + 2) = 2$ **2p**

**b)** $a \le b \Rightarrow a - b = b - a$ **2p**

$a * b = \frac{1}{2}(a + b + a - b ) = \frac{1}{2}(a + b + b - a) = \frac{1}{2} \cdot 2b = b$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ astfel încât $a \le b$ **3p**

**c)** $x^2 + 1 \ge 2x$ și $x^2 + 1 \ge -2x$, pentru orice număr real $x$, deci $((2x) * (x^2 + 1)) * (-2x) =$ **3p**

$= (x^2 + 1) * (-2x) = (-2x) * (x^2 + 1) = x^2 + 1$, pentru orice număr real $x$

$x^2 + 1 = 10$, deci $x = -3$ sau $x = 3$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 1 - \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}} =$ **3p**

$= 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} = \frac{\sqrt{x^2 + 3} - x}{\sqrt{x^2 + 3}}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2 + 3}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - (x^2 + 3)}{x + \sqrt{x^2 + 3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3}{x + \sqrt{x^2 + 3}} = 0$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = 0$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x) > 0$, pentru orice număr real $x$, deci $f$ este strict crescătoare **2p**

Cum $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ și $f$ este funcție continuă, ecuația $f(x) = a$ are soluție $\Leftrightarrow a \in (-\infty, 0)$ **3p**

**2.a)** $\int_0^2 (x^2 + x + 3) f(x) dx = \int_0^2 (x^2 + x + 3) \frac{x}{x^2 + x + 3} dx = \int_0^2 x dx = \frac{x^2}{2} \bigg _0^2 =$ **3p**

$= \frac{4}{2} = 2$ **2p**

**b)** $\int_1^2 g(x) dx = \int_1^2 \frac{2x + 1}{x^2 + x + 3} dx = \int_1^2 \frac{(x^2 + x + 3)'}{x^2 + x + 3} dx =$ **3p**

$= \ln(x^2 + x + 3) \bigg _1^2 = \ln 9 - \ln 5 = \ln \frac{9}{5}$ **2p**

**c)** $0 \le \frac{x}{x^2 + x + 3} \le \frac{1}{2}$, pentru orice $x \in [0, +\infty)$, deci $0 \le f^n(x) \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$, pentru orice $x \in [0, +\infty)$ și orice număr natural nenul $n$ **2p**

$0 \le I_n = \int_a^b f^n(x) dx \le \left(\frac{1}{2}\right)^n (b - a)$, pentru orice număr natural nenul $n$ și, cum $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$, obținem că $\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$ **3p**

***