**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 1**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{5}(1+2\sqrt{5})-\sqrt{5}=10$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^{2}-3x+1$. Arătați că $f(1)=f(2)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log _{5}\left(x^{2}-21\right)=\log _{5} 4$.

**5p** **4.** După o scumpire cu $10 \%$, un obiect costă $220$ de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,8)$ și $B(0,4)$. Știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, determinați coordonatele punctului $M$.

**5p** **6.** În triunghiul $ABC$, $m(\sphericalangle B)=m(\sphericalangle C)=60^{\circ}$. Calculați cosinusul unghiului $A$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $A=\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ și $O_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

**5p** **a)** Arătați că $\det A=2$.

**5p** **b)** Arătați că $B \cdot A+B=O_{2}$.

**5p** **c)** Determinați numerele naturale $n$ pentru care $\det(B+nA)=\det B+n \det A$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y=x+2y+1$.

**5p** **a)** Arătați că $1 \circ(-1)=0$.

**5p** **b)** Demonstrați că $x \circ\left(-\frac{1}{2}\right)=x$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Arătați că legea de compoziție „$\circ$” **nu** admite element neutru.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^{2}+2}{x^{2}+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{-2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $f(x)+\ln \left(x^{2}+1\right)<\frac{5}{2}$, pentru orice $x \in[0,1]$.

**2.** Se consideră funcția $f:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^{x}}{x+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{0}^{2}(x+1) f(x) dx=e^{2}-1$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_{0}^{1} \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx=1-\ln 2$.

**5p** **c)** Arătați că $\int_{0}^{1} f(x) dx+\int_{0}^{1} e^{x} \ln (x+1) dx=e \ln 2$.

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*