**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 1**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\sqrt{5}(1+2\sqrt{5})-\sqrt{5} = \sqrt{5} + 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} =$ **3p**

$= 2 \cdot 5 = 10$ **2p**

**2.** $f(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = -1$ **2p**

$f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = -1$, deci $f(1) = f(2)$ **3p**

**3.** $x^2 - 21 = 4 \Rightarrow x^2 - 25 = 0$ **3p**

$x = -5$ sau $x = 5$, care convin **2p**

**4.** $x + \dfrac{10}{100} \cdot x = 220$, unde $x$ este prețul inițial al obiectului **3p**

$x = 200$ de lei **2p**

**5.** $x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2} = 2$ **3p**

$y_M = \dfrac{y_A + y_B}{2} = 6$ **2p**

**6.** $m(\sphericalangle A) = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ **3p**

$\cos A = \dfrac{1}{2}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-4) - (-1) \cdot 6 =$ **3p**

$= -4 + 6 = 2$ **2p**

**b)** $B \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ **3p**

$B \cdot A = -B$, deci $B \cdot A + B = O_2$ **2p**

**c)** $B + nA = \begin{pmatrix} 1+n & 2+6n \\ 2-n & 4-4n \end{pmatrix} \Rightarrow \det(B + nA) = \begin{vmatrix} 1+n & 2+6n \\ 2-n & 4-4n \end{vmatrix} = 2n^2 - 10n$, pentru orice număr natural $n$ **2p**

Cum $\det B = 0$, obținem $2n^2 - 10n = 2n$, deci $n = 0$ sau $n = 6$, care convin **3p**

**2.a)** $1 \circ (-1) = 1 + 2(-1) + 1 =$ **3p**

$= 1 - 2 + 1 = 0$ **2p**

**b)** $x \circ \left( -\dfrac{1}{2} \right) = x + 2 \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) + 1 =$ **3p**

$= x + (-1) + 1 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**c)** Presupunem că legea de compoziție „$\circ$” admite elementul neutru $e \Rightarrow 0 \circ e = e \circ 0 = 0$ **3p**

$0 \circ e = 0 \Leftrightarrow 2e + 1 = 0 \Leftrightarrow e = -\frac{1}{2}$, $e \circ 0 = 0 \Leftrightarrow e + 1 = 0 \Leftrightarrow e = -1$, contradicție, deci legea de compoziție „$\circ$” nu admite elementul neutru **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{2x\left(x^2+1\right) - 2x\left(x^2+2\right)}{\left(x^2+1\right)^2} =$ **3p**

$= \frac{2x\left(x^2+1-x^2-2\right)}{\left(x^2+1\right)^2} = \frac{-2x}{\left(x^2+1\right)^2}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+2}{x^2+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(1+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)} = 1$ **3p**

Dreapta de ecuație $y=1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** Dacă $g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $g(x) = f(x) + \ln\left(x^2+1\right)$, atunci $g'(x) = \frac{-2x}{\left(x^2+1\right)^2} + \frac{2x}{x^2+1} = \frac{2x^3}{\left(x^2+1\right)^2} \ge 0$, pentru orice $x \in [0,1]$, deci $g$ este crescătoare pe $[0,1] \Rightarrow g(x) \le g(1)$, pentru orice $x \in [0,1]$ **3p**

Cum $g(1) = \frac{3}{2} + \ln 2 < \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$, obținem $g(x) < \frac{5}{2}$, deci $f(x) + \ln\left(x^2+1\right) < \frac{5}{2}$, pentru orice $x \in [0,1]$ **2p**

**2.a)** $\int_0^2 (x+1) f(x) \, dx = \int_0^2 (x+1) \cdot \frac{e^x}{x+1} \, dx = \int_0^2 e^x \, dx = e^x \bigg _0^2 =$ **3p**

$= e^2 - e^0 = e^2 - 1$ **2p**

**b)** $\int_0^1 \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln f(x) \bigg _0^1 = \ln \frac{e^x}{x+1} \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \ln \frac{e}{2} = 1 - \ln 2$ **2p**

**c)** $\int_0^1 \frac{e^x}{x+1} \, dx + \int_0^1 e^x \ln(x+1) \, dx = \int_0^1 e^x (\ln(x+1))' \, dx + \int_0^1 e^x \ln(x+1) \, dx =$ **3p**

$= e^x \ln(x+1) \bigg _0^1 - \int_0^1 e^x \ln(x+1) \, dx + \int_0^1 e^x \ln(x+1) \, dx = e \ln 2$ **2p**

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*