**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 1**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\log_2 7 + \log_2 6 - \log_2 21 = 1$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = 2x - 1$. Demonstrați că $f(x) \ge g(x)$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2 + 12} = 2x$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $x$ din mulțimea $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$, acesta să fie soluție a ecuației $x^2 - 3x + 2 = 0$.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $a$ și $b$, pentru care $\vec{u} = 3\vec{v}$, unde $\vec{u} = a\vec{i} + 6\vec{j}$ și $\vec{v} = 2\vec{i} + b\vec{j}$.

**5p** **6.** Se consideră expresia $E(x) = \sin^2 x - \cos^2 x + \sqrt{2}(\sin x + \cos x) - 2$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} x+2 & x+3 \\ x-3 & x-2 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(x)) = 5$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **b)** Determinați numărul natural $n$ astfel încât $A(-3) + A(-2) + A(-1) + A(1) + A(2) + A(3) = nA(0)$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$ pentru care $A(x) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -4 & -7 \end{pmatrix}$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = \dfrac{x + y + 1}{x^2 + y^2 + 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $0 * 1 = 1$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * x = 1$.

**5p** **c)** Demonstrați că $x * (-x) \le 1$, pentru orice număr real $x$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x\sqrt{x^2 + 2x + 2}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 2}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Calculați $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f'(x)}{f(x)}$.

**5p** **c)** Demonstrați că, pentru orice număr real $a$, ecuația $f(x) = a$ are cel puțin o soluție.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = xe^x + x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^1 (f(x) - xe^x) dx = \dfrac{1}{2}$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_1^2 \dfrac{1}{x} \cdot f(x^2) dx = \dfrac{e^4 - e + 3}{2}$.

**5p** **c)** Se consideră $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitiva funcției $f$ pentru care $F(1) = 0$. Arătați că $\int\limits_0^1 F(x) dx = \dfrac{5 - 3e}{3}$.

***