**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 1**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\log_2 7 + \log_2 6 - \log_2 21 = \log_2 \frac{7 \cdot 6}{21} =$ **3p**

$= \log_2 2 = 1$ **2p**

**2.** $f(x) - g(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$(x - 1)^2 \ge 0$, pentru orice număr real $x$, deci $f(x) \ge g(x)$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**3.** $x^2 + 12 = 4x^2 \Rightarrow 3x^2 = 12 \Leftrightarrow x^2 = 4$ **3p**

$x = -2$, care nu convine, $x = 2$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 5 elemente, deci sunt 5 cazuri posibile **2p**

$x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ sau $x = 2$, care sunt elemente ale mulțimii $A$, deci avem 2 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{2}{5}$ **1p**

**5.** $\vec{u} = 3\vec{v} \Leftrightarrow a\vec{i} + 6\vec{j} = 6\vec{i} + 3b\vec{j}$ **3p**

$a = 6$, $b = 2$ **2p**

**6.** $E\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin^2 \frac{\pi}{4} - \cos^2 \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}\left(\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}\right) - 2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 2 =$ **3p**

$= \sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{2} - 2 = 0$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det(A(x)) = \begin{vmatrix} x+2 & x+3 \\ x-3 & x-2 \end{vmatrix} = x^2 - 4 - (x^2 - 9) =$ **3p**

$= x^2 - 4 - x^2 + 9 = 5$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**b)** $A(-3) + A(3) = A(-2) + A(2) = A(-1) + A(1) = 2A(0)$ **3p**

$2A(0) + 2A(0) + 2A(0) = nA(0)$, de unde obținem $n = 6$ **2p**

**c)** $A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow A(x) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} x & 3x+5 \\ x-5 & 3x-10 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$\begin{pmatrix} x & 3x+5 \\ x-5 & 3x-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -4 & -7 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = 1$ **2p**

**2.a)** $0 * 1 = \frac{0+1+1}{0^2+1^2+1} =$ **3p**

$= \frac{2}{2} = 1$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

**b)** $x * x = \frac{2x+1}{2x^2+1}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{2x+1}{2x^2+1} = 1 \Leftrightarrow 2x(x-1) = 0 \Rightarrow x=0$ sau $x=1$ **3p**

**c)** $x * (-x) = \frac{x+(-x)+1}{x^2+(-x)^2+1} = \frac{1}{2x^2+1}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$x * (-x) \le 1 \Leftrightarrow \frac{1}{2x^2+1} \le 1 \Leftrightarrow \frac{-2x^2}{2x^2+1} \le 0$ inegalitate adevărată pentru orice număr real $x$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \sqrt{x^2+2x+2} + x \cdot \frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+2}} =$ **3p**

$= \frac{x^2+2x+2+x^2+x}{\sqrt{x^2+2x+2}} = \frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}} \cdot \frac{1}{x\sqrt{x^2+2x+2}} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+3x+2}{x^3+2x^2+2x} =$ **3p**

$= 0$ **2p**

**c)** $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x\sqrt{x^2+2x+2} = -\infty$ **2p**

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x\sqrt{x^2+2x+2} = +\infty$ și, cum $f$ este funcție continuă, obținem că, pentru orice număr real $a$, ecuația $f(x)=a$ are cel puțin o soluție **3p**

**2.a)** $\int_0^1 (f(x)-xe^x)dx = \int_0^1 (xe^x+x-xe^x)dx = \int_0^1 x dx =$ **2p**

$= \left. \frac{x^2}{2} \right _0^1 = \frac{1}{2}$ **3p**

**b)** $\int_1^2 \frac{1}{x} \cdot f(x^2)dx = \int_1^2 \frac{x^2e^{x^2}+x^2}{x}dx = \int_1^2 xe^{x^2}dx + \int_1^2 xdx = \left. \frac{1}{2}e^{x^2} \right _1^2 + \left. \frac{x^2}{2} \right _1^2 =$ **3p**

$= \frac{1}{2}e^4 - \frac{1}{2}e + \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^4-e+3}{2}$ **2p**

**c)** $\int_0^1 F(x)dx = \int_0^1 x'F(x)dx = xF(x) \Big _0^1 - \int_0^1 xf(x)dx = F(1) - \int_0^1 (x^2e^x+x^2)dx =$ **3p**

$= -\left( (x^2-2x+2)e^x + \frac{x^3}{3} \right) \Big _0^1 = -\left( e + \frac{1}{3} - 2 \right) = \frac{5-3e}{3}$ **2p**

***