**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Varianta 1**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați rația progresiei geometrice $(b_n)_{n \ge 1}$, știind că $b_1 = 2$ și $b_4 = -2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 6x + 3$. Arătați că $f(0) = f(6)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(x - 2) = 1$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = \{1, 2, 3, 7, 8, 9\}$, acesta să fie mai mic sau egal cu media aritmetică a elementelor mulțimii $A$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreptele $d_1$ și $d_2$ de ecuații $y = 3x - 1$, respectiv $y = ax + 5$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că dreptele $d_1$ și $d_2$ sunt perpendiculare.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ și punctul $D \in AC$, piciorul bisectoarei unghiului $B$. Știind că $BD = CD$, arătați că $m(\sphericalangle ACB) = 30^\circ$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x + ay + 5$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că, pentru orice număr real $a$, $4 * 0 = 9$.

**5p** **2.** Demonstrați că, pentru $a = 1$, legea de compoziție „$*$” este asociativă.

**5p** **3.** Determinați numărul real $a$ pentru care legea de compoziție „$*$” este comutativă.

**5p** **4.** Arătați că, dacă legea de compoziție „$*$” are element neutru, atunci $a = 1$.

**5p** **5.** Pentru $a = 1$, determinați numerele reale $x$ pentru care $(x * x^2) * (x * x^2) = 15$.

**5p** **6.** Pentru $a = -3$, determinați numerele reale $x$ pentru care $4^x * 2^x = 3$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$, $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

**5p** **1.** Arătați că $\det A = 9$.

**5p** **2.** Arătați că $(A - I_2)(A - 9I_2) = O_2$.

**5p** **3.** Se consideră matricea $B = A - 5I_2$. Demonstrați că suma elementelor matricei $B \cdot B$ este divizibilă cu $2^5$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det(aA + I_2) = 0$.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A \cdot M = M \cdot A$, unde $M = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & 2 \end{pmatrix}$.

**5p** **6.** Demonstrați că $\det(A + xI_2) + \det(A - xI_2) \ge 18$, pentru orice număr real $x$.

***

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*