**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE**

**Varianta 1**

**Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare**

* **Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $b_4 = b_1 q^3$, deci $2q^3 = -2$, unde $q$ este rația progresiei geometrice $(b_n)_{n \ge 1}$ **3p**

$q^3 = -1$, de unde obținem $q = -1$ **2p**

**2.** $f(0) = 3$ **2p**

$f(6) = 6^2 - 6 \cdot 6 + 3 = 3$, deci $f(0) = f(6)$ **3p**

**3.** $x - 2 = 3$ **3p**

$x = 5$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 6 elemente, deci sunt 6 cazuri posibile **2p**

Media aritmetică a elementelor mulțimii $A$ este $m_a = \frac{1+2+3+7+8+9}{6} = 5$, deci sunt 3 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ **1p**

**5.** $m_{d_1} = 3$, $m_{d_2} = a$ **2p**

$d_1$ și $d_2$ sunt perpendiculare $\Leftrightarrow m_{d_1} \cdot m_{d_2} = -1 \Leftrightarrow 3a = -1$, de unde obținem $a = -\frac{1}{3}$ **3p**

**6.** $\Delta BDC$ este isoscel, deci $m(\sphericalangle ACB) = m(\sphericalangle DBC) = \frac{1}{2} m(\sphericalangle ABC)$ **3p**

$m(\sphericalangle ABC) + m(\sphericalangle ACB) = 90^\circ$, deci $m(\sphericalangle ACB) = 30^\circ$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $4 * 0 = 4 + a \cdot 0 + 5 =$ **3p**

$= 4 + 5 = 9$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**2.** $x * y = x + y + 5$, deci $(x * y) * z = (x + y + 5) * z = x + y + 5 + z + 5 = x + y + z + 10$, pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$ **3p**

$x * (y * z) = x * (y + z + 5) = x + y + z + 5 + 5 = x + y + z + 10 = (x * y) * z$, pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$, deci legea de compoziție „$*$” este asociativă **2p**

**3.** $x * y = y * x$, deci $x + ay + 5 = y + ax + 5$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

$(a - 1)(x - y) = 0$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, de unde obținem $a = 1$ **3p**

**4.** Dacă $e$ este elementul neutru, atunci $e * 0 = 0 \Rightarrow e + a \cdot 0 + 5 = 0$, de unde obținem $e = -5$ **2p**

$0 * (-5) = 0 \Rightarrow -5a + 5 = 0$, de unde obținem $a = 1$ **3p**

**5.** $(x * x^2) * (x * x^2) = (x + x^2 + 5) * (x + x^2 + 5) = x + x^2 + 5 + x + x^2 + 5 + 5 = 2x^2 + 2x + 15$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$2x^2 + 2x + 15 = 15 \Leftrightarrow 2x(x + 1) = 0$, de unde obținem $x = -1$ sau $x = 0$ **3p**

**6.** Pentru $a = -3$ obținem $x * y = x - 3y + 5$, deci ecuația devine $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$ **2p**

$(2^x - 1)(2^x - 2) = 0$, de unde obținem $x = 0$ sau $x = 1$ **3p**

***

Barem de evaluare şi de notare

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = 5 \cdot 5 - 4 \cdot 4 =$ **3p**

$= 25 - 16 = 9$ **2p**

**2.** $A - I_2 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$, $A - 9I_2 = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}$ **2p**

$(A - I_2)(A - 9I_2) = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2$ **3p**

**3.** $B = A - 5I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$, $B \cdot B = \begin{pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix}$ **3p**

Suma elementelor matricei $B \cdot B$ este egală cu $16 + 16 = 32 = 2^5$, deci este divizibilă cu $2^5$ **2p**

**4.** $aA + I_2 = \begin{pmatrix} 5a + 1 & 4a \\ 4a & 5a + 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(aA + I_2) = 9a^2 + 10a + 1$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$9a^2 + 10a + 1 = 0 \Leftrightarrow a = -1$ sau $a = -\frac{1}{9}$ **2p**

**5.** $A \cdot M = \begin{pmatrix} 5x + 4y & 13 \\ 4x + 5y & 14 \end{pmatrix}$, $M \cdot A = \begin{pmatrix} 5x + 4 & 4x + 5 \\ 5y + 8 & 4y + 10 \end{pmatrix}$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale **2p**

$\begin{pmatrix} 5x + 4y & 13 \\ 4x + 5y & 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5x + 4 & 4x + 5 \\ 5y + 8 & 4y + 10 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = 2$ și $y = 1$ **3p**

**6.** $A + xI_2 = \begin{pmatrix} 5 + x & 4 \\ 4 & 5 + x \end{pmatrix}$, $A - xI_2 = \begin{pmatrix} 5 - x & 4 \\ 4 & 5 - x \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\det(A + xI_2) + \det(A - xI_2) = (5 + x)^2 - 16 + (5 - x)^2 - 16 = 2x^2 + 18 \ge 18$, pentru orice număr real $x$ **3p**

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare