**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 1**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că numărul $a=3+2\sqrt{2}+\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$ este natural.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$. Arătați că $(f \circ f)(1)=f(2)+2$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^{x^2}=3 \cdot 3^x$.

**5p** **4.** Determinați numărul natural nenul $n$, știind că mulțimea $A=\{1,2,3, \dots, n\}$ are exact 10 submulțimi cu două elemente.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(1,0)$, $N(7,0)$ și $A(a,3)$, unde $a$ este număr real. Știind că $AM=AN$, arătați că segmentul $AO$ are lungimea egală cu 5.

**5p** **6.** Se consideră $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ pentru care $3\cos x-2=2\cos 2x$. Calculați $\cos x$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} 1 & 2-a & a \\ a & 1 & 1 \\ a & 2a-5 & a-2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} x+(2-a)y+az=1 \\ ax+y+z=2-a \\ ax+(2a-5)y+(a-2)z=-4 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0))=3$.

**5p** **b)** Demonstrați că $\det(A(a))=(a-1)(a-3)(3a+1)$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural $a$ pentru care sistemul are soluție unică $(x_0, y_0, z_0)$ și $x_0$, $y_0$, $z_0$ sunt numere naturale.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = \log_2(2^x+2^y)$.

**5p** **a)** Arătați că $0 * 0 = 1$.

**5p** **b)** Demonstrați că legea de compoziție „$*$” este comutativă.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$ pentru care $(x * x) * x = 3 + \log_2 3$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^4-x^2+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=\frac{x(2x^2-1)}{\sqrt{x^4-x^2+1}}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că, pentru orice $m \in \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$, ecuația $f(x)=m$ are exact patru soluții reale.

***

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^{2}+2 x+5}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{1}^{2} x \cdot \frac{1}{f(x)} d x=\frac{31}{3}$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_{0}^{1} g(x) d x=\frac{1}{2} \ln \frac{8}{5}$, unde $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)+\frac{1}{x^{2}+2 x+5}$.

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_{n}=\int_{-1}^{1} x^{2 n-1} f(x) d x$. Demonstrați că $\lim _{n \rightarrow+\infty} I_{n}=0$.