**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 1**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $a = 3 + 2\sqrt{2} + \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8} =$ **3p**

$= 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} = 6$, care este număr natural **2p**

**2.** $(f \circ f)(1) = f(f(1)) = f(3) = 7$ **3p**

$f(2) = 5$, deci $(f \circ f)(1) = f(2) + 2$ **2p**

**3.** $3^{2x^2} = 3^{x+1} \Leftrightarrow 2x^2 = x + 1$ **2p**

$2x^2 - x - 1 = 0$, de unde obținem $x = -\frac{1}{2}$ sau $x = 1$ **3p**

**4.** Numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii $A$ este $C_n^2$ **2p**

$\frac{n!}{2!(n-2)!} = 10 \Leftrightarrow n^2 - n - 20 = 0$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 5$ **3p**

**5.** $AM = AN$, deci $a = 4$ **3p**

$A(4,3)$, deci $AO = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ **2p**

**6.** $3\cos x - 2 = 4\cos^2 x - 2 \Leftrightarrow 4\cos^2 x - 3\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x(4\cos x - 3) = 0$ **3p**

Cum $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, obținem $\cos x = \frac{3}{4}$ **2p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & -2 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= (-2) + 0 + 0 - 0 - (-5) - 0 = 3$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 1 & 2-a & a \\ a-1 & a-1 & 1-a \\ a & 2a-5 & a-2 \end{vmatrix} = (a-1) \begin{vmatrix} 1 & 2-a & a \\ 1 & 1 & -1 \\ a & 2a-5 & a-2 \end{vmatrix} = (a-1) \begin{vmatrix} 1 & 1-a & a+1 \\ 1 & 0 & 0 \\ a & a-5 & 2a-2 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= -(a-1) \begin{vmatrix} 1-a & a+1 \\ a-5 & 2a-2 \end{vmatrix} = (a-1)(3a^2 - 8a - 3) = (a-1)(a-3)(3a+1)$, pentru orice număr real $a$ **3p**

**c)** Sistemul are soluție unică $(x_0, y_0, z_0) \Leftrightarrow \det(A(a)) \neq 0$, deci, pentru $a \in \mathbb{N}$, obținem $a \in \mathbb{N} \setminus \{1, 3\}$ și, cum $x_0, y_0, z_0 \in \mathbb{N}$ și $ax_0 + y_0 + z_0 = 2-a$, obținem $2-a \in \mathbb{N}$ **3p**

$a = 2$, care nu convine, $a = 0$ care convine **2p**

**2.a)** $0 * 0 = \log_2(2^0 + 2^0) = \log_2(1 + 1) =$ **3p**

$= \log_2 2 = 1$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

**b)** $x * y = \log_2 \left( 2^x + 2^y \right) = \log_2 \left( 2^y + 2^x \right) =$ **3p**

$= y * x$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$*$” este comutativă **2p**

**c)** $(x * x) * x = \log_2 \left( 2^x + 2^x \right) * x = \log_2 \left( 2^{x+1} \right) * x = (x+1) * x = \log_2 \left( 2^{x+1} + 2^x \right) = \log_2 \left( 2^x \cdot 3 \right)$, **3p**

unde $x$ este număr real

$\log_2 \left( 2^x \cdot 3 \right) = 3 + \log_2 3$, de unde obținem $x = 3$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{4x^3 - 2x}{2\sqrt{x^4 - x^2 + 1}} =$ **3p**

$= \frac{2x(2x^2 - 1)}{2\sqrt{x^4 - x^2 + 1}} = \frac{x(2x^2 - 1)}{\sqrt{x^4 - x^2 + 1}}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f(1) = 1$, $f'(1) = 1$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$, adică $y = x$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, $x = 0$ sau $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ și $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$, $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, $f$

este strict descrescătoare pe $\left( -\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right]$ și pe $\left( 0, \frac{1}{\sqrt{2}} \right]$, $f$ este strict crescătoare pe **3p**

$\left[ -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right]$ și pe $\left[ \frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty \right)$ și $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

Cum $f\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} < m$, $f(0) = 1 > m$ și $f\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} < m$, obținem că, pentru orice

$m \in \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 \right)$, ecuația $f(x) = m$ are exact patru soluții reale **2p**

**2.a)** $\int_1^2 x \cdot \frac{x^2 + 2x + 5}{x} dx = \int_1^2 (x^2 + 2x + 5) dx = \left( \frac{x^3}{3} + x^2 + 5x \right) \bigg _1^2 =$ **3p**

$= \frac{8}{3} + 4 + 10 - \frac{1}{3} - 1 - 5 = \frac{7}{3} + 8 = \frac{31}{3}$ **2p**

**b)** $\int_0^1 g(x) dx = \int_0^1 \frac{x+1}{x^2 + 2x + 5} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{(x^2 + 2x + 5)'}{x^2 + 2x + 5} dx =$ **3p**

$= \frac{1}{2} \ln(x^2 + 2x + 5) \bigg _0^1 = \frac{1}{2} \ln \frac{8}{5}$ **2p**

**c)** $x^{2n} \ge 0$ și $x^2 + 2x + 5 \ge 4 \Rightarrow 0 \le \frac{x^{2n}}{x^2 + 2x + 5} \le \frac{x^{2n}}{4}$, pentru orice $x \in [-1, 1]$ și orice $n \in \mathbb{N}^*$ **2p**

$0 \le \int_{-1}^1 x^{2n-1} f(x) dx \le \int_{-1}^1 \frac{x^{2n}}{4} dx$ și, cum $\int_{-1}^1 \frac{x^{2n}}{4} dx = \frac{1}{2(2n+1)}$ și $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2(2n+1)} = 0$, obținem

$\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$ **3p**

***