Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $(10-2 \cdot 3)(10+2 \cdot 3)=64$.

**5p** **2.** Se consideră $x_{1}$ și $x_{2}$ soluțiile ecuației $x^{2}-7 x+10=0$. Arătați că $2\left(x_{1}+x_{2}\right)-x_{1} x_{2}=4$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log _{2}(x-2020)=2 \log _{2} 3$.

**5p** **4.** Un obiect costă $200$ de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu $10\%$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,4)$ și $B(4,4)$. Calculați distanța de la punctul $O(0,0)$ la mijlocul segmentului $AB$.

**5p** **6.** Arătați că $\sin 60^{\circ}+\cos 150^{\circ}=0$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $A=\begin{pmatrix} -2 & 9 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ și $B(x)=\begin{pmatrix} x & -3x \\ 0 & x \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A=4$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $B(x) \cdot B(-x)+B(x)=A$.

**5p** **c)** Rezolvați în $\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ ecuația $B(1) \cdot X=A$.

**2.** Pe mulțimea $M=(0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $x \circ y=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}$.

**5p** **a)** Arătați că $3 \circ \frac{1}{3}=\frac{82}{9}$.

**5p** **b)** Demonstrați că $x \circ y \geq 2$, pentru orice $x, y \in M$.

**5p** **c)** Determinați $a \in M$, pentru care $a^{2} \circ \frac{1}{a^{2}}=2$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x\left(x^{2}-12\right)+3$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=3(x-2)(x+2), x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{f(x)+6}{x-3}=15$.

**5p** **c)** Demonstrați că $-13 \leq f(x) \leq 19$, pentru orice $x \in[-2,2]$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{5}+x+1$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{-1}^{1}\left(f(x)-x^{5}-1\right) d x=0$.

**5p** **b)** Calculați $\int_{0}^{1} x^{2020}(f(x)-x-1) d x$.

**5p** **c)** Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=\frac{1}{x}\left(f(x)-x^{5}\right)$ este egal cu $\pi\left(2 \ln 2+\frac{3}{2}\right)$.

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale