Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $10 - 2 \cdot 3 = 4$ **2p**

$10 + 2 \cdot 3 = 16 \Rightarrow (10 - 2 \cdot 3)(10 + 2 \cdot 3) = 4 \cdot 16 = 64$ **3p**

**2.** $x_1 + x_2 = 7$ **2p**

$x_1 x_2 = 10 \Rightarrow 2(x_1 + x_2) - x_1 x_2 = 14 - 10 = 4$ **3p**

**3.** $\log_2(x - 2020) = \log_2 3^2 \Rightarrow x - 2020 = 9$ **3p**

$x = 2029$, care convine **2p**

**4.** $10\%$ din $200$ reprezintă $\frac{10}{100} \cdot 200 = 20$ **3p**

Prețul după scumpire este $200 + 20 = 220$ de lei **2p**

**5.** Mijlocul segmentului $AB$ este punctul $M(3,4)$ **2p**

$OM = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5$ **3p**

**6.** $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ **2p**

$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin 60^\circ + \cos 150^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} -2 & 9 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = (-2) \cdot (-2) - 0 \cdot 9 =$ **3p**

$= 4 - 0 = 4$ **2p**

**b)** $B(x) \cdot B(-x) = \begin{pmatrix} -x^2 & 6x^2 \\ 0 & -x^2 \end{pmatrix}$, $B(x) \cdot B(-x) + B(x) = \begin{pmatrix} -x^2 + x & 6x^2 - 3x \\ 0 & -x^2 + x \end{pmatrix}$, $x \in \mathbb{R}$ **3p**

$\begin{pmatrix} -x^2 + x & 6x^2 - 3x \\ 0 & -x^2 + x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 9 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = -1$ **2p**

**c)** $B(1) = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\det(B(1)) = 1$, $(B(1))^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ **3p**

$X = (B(1))^{-1} \cdot A \Rightarrow X = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.a)** $3 \circ \frac{1}{3} = \frac{9 + \frac{1}{9}}{3 \cdot \frac{1}{3}} =$ **3p**

$= 9 + \frac{1}{9} = \frac{82}{9}$ **2p**

**b)** $x \circ y - 2 = \frac{x^2 + y^2}{xy} - 2 = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy} = \frac{(x - y)^2}{xy}$ **3p**

Cum $x > 0$, $y > 0$ și $(x - y)^2 \ge 0$, obținem $x \circ y \ge 2$, pentru orice $x, y \in M$ **2p**

**c)** $a^4 + \frac{1}{a^4} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( a^2 - \frac{1}{a^2} \right)^2 = 0$, deci $a^4 = 1$ **3p**

$a = -1$, care nu convine, $a = 1$, care convine **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = (x^3 - 12x + 3)' = 3x^2 - 12 =$ **3p**

$= 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to 3} \frac{f(x) - (-6)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = f'(3) =$ **3p**

$= 3(3 - 2)(3 + 2) = 15$ **2p**

**c)** $x \in [-2, 2] \Rightarrow f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-2, 2]$ **2p**

Cum $f(-2) = 19$ și $f(2) = -13$, obținem $-13 \le f(x) \le 19$, pentru orice $x \in [-2, 2]$ **3p**

**2.a)** $\int_{-1}^1 (f(x) - x^5 - 1) dx = \int_{-1}^1 (x^5 + x + 1 - x^5 - 1) dx = \int_{-1}^1 x dx =$ **2p**

$= \frac{x^2}{2} \bigg _{-1}^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ **3p**

**b)** $\int_0^1 x^{2020} (f(x) - x - 1) dx = \int_0^1 x^{2025} dx = \frac{x^{2026}}{2026} \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{2026}$ **2p**

**c)** $g(x) = 1 + \frac{1}{x} \Rightarrow V = \pi \int_1^2 g^2(x) dx = \pi \int_1^2 \left( 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx =$ **2p**

$= \pi \left( x + 2 \ln x - \frac{1}{x} \right) \bigg _1^2 = \pi \left( 2 \ln 2 + \frac{3}{2} \right)$ **3p**

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*