Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $(0,3 \cdot 10-1)(0,3 \cdot 10+1)=8$.

**5p** **2.** Se consideră $x_{1}$ și $x_{2}$ soluțiile ecuației $x^{2}-6 x+m=0$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $x_{1} x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)=12$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2 \sqrt{5-x}=\sqrt{x+10}$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor cu 3 mai mare decât cifra unităților.

**5p** **5.** Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}=a \vec{i}+(a-1) \vec{j}$ și $\vec{v}=3 \vec{i}+4 \vec{j}$ sunt coliniari.

**5p** **6.** Arătați că, dacă $x$ este număr real pentru care $\sin x=\cos x$, atunci $\cos 2 x=0$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(a, b)=\begin{pmatrix} a & 2b \\ -b & a \end{pmatrix}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1,1))=3$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(a, b) \cdot A(b, a)=A\left(-a b, a^{2}+b^{2}\right)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **c)** Determinați perechile de numere întregi $m$ și $n$ pentru care $\det(A(m, n))=1$.

**2.** Se consideră polinomul $f=X^{3}-15 X^{2}+m X-80$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Pentru $m=95$, arătați că $f(1)=1$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $m$ pentru care $x_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right)+x_{2}\left(x_{2}-x_{3}\right)+x_{3}\left(x_{3}-x_{1}\right)=0$, unde $x_{1}$, $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

**5p** **c)** Determinați rădăcinile polinomului $f$, știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=e^{x}-x-10$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(0)=0$.

**5p** **b)** Demonstrați că oricare două tangente la graficul funcției $f$ sunt concurente.

**5p** **c)** Demonstrați că $e^{x^{3}} \geq(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)$, pentru orice număr real $x$.

**2.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow(0,+\infty)$, $f(x)=x+\frac{9}{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{1}^{3}\left(f(x)-\frac{9}{x}\right) d x=4$.

**5p** **b)** Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{2}{f(x)}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=9$ are aria egală cu $2 \ln 3$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, știind că $\int_{1}^{\sqrt{3}}\left(f(x)-\frac{9}{x}\right) \operatorname{arctg} x d x=\frac{5 \pi}{12}-\frac{3+\sqrt{3}-a}{2}$.

Model