Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(0,3 \cdot 10-1)(0,3 \cdot 10+1)=(3-1)(3+1)=$ **3p**

$=2 \cdot 4=8$ **2p**

**2.** $x_{1}+x_{2}=6, x_{1} x_{2}=m$ **2p**

$6 m=12$, deci $m=2$ **3p**

**3.** $4(5-x)=x+10 \Rightarrow 20-4 x=x+10 \Rightarrow 5 x=10$ **3p**

$x=2$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 7 numere care au cifra zecilor cu 3 mai mare decât cifra unităților, deci sunt 7 cazuri favorabile **2p**

$p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{7}{90}$ **1p**

**5.** $\frac{a}{3}=\frac{a-1}{4} \Leftrightarrow 4 a=3 a-3$ **3p**

$a=-3$ **2p**

**6.** $\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=$ **2p**

$=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=0 \cdot(\cos x+\sin x)=0$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1,1)=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1,1))=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}=1 \cdot 1-(-1) \cdot 2=$ **3p**

$=1+2=3$ **2p**

**b)** $A(a, b) \cdot A(b, a)=\begin{pmatrix} a & 2 b \\ -b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & 2 a \\ -a & b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a b-2 a b & 2 a^{2}+2 b^{2} \\ -b^{2}-a^{2} & -2 a b+a b \end{pmatrix}=$ **3p**

$=\begin{pmatrix} -a b & 2\left(a^{2}+b^{2}\right) \\ -\left(a^{2}+b^{2}\right) & -a b \end{pmatrix}=A\left(-a b, a^{2}+b^{2}\right)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

**c)** $\det(A(m, n))=\begin{vmatrix} m & 2 n \\ -n & m \end{vmatrix}=m^{2}+2 n^{2}$ **2p**

Cum $m$ și $n$ sunt numere întregi, din $m^{2}+2 n^{2}=1$ obținem $m=-1, n=0$ sau $m=1, n=0$ **3p**

**2.a)** $f=X^{3}-15 X^{2}+95 X-80 \Rightarrow f(1)=1^{3}-15 \cdot 1^{2}+95 \cdot 1-80=$ **2p**

$=1-15+95-80=1$ **3p**

**b)** $x_{1}+x_{2}+x_{3}=15$ și $x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{1} x_{3}=m$ **2p**

$\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2}-3\left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{1} x_{3}\right)=0 \Leftrightarrow 225-3 m=0$, deci $m=75$ **3p**

***

Barem de evaluare şi de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**c)** $2x_2 = x_1 + x_3$ și $x_1 + x_2 + x_3 = 15 \Rightarrow x_2 = 5$ **2p**

$x_1x_2x_3 = 80 \Rightarrow x_1x_3 = 16$ și, cum $x_1 + x_3 = 10$, polinomul $f$ are rădăcinile $2$, $5$ și $8$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = e^x - 1, \ x \in \mathbb{R}$ **3p**

$f'(0) = e^0 - 1 = 0$ **2p**

**b)** $f''(x) = e^x > 0$, pentru orice număr real $x \Rightarrow f'$ este strict crescătoare, deci $f'$ este injectivă **2p**

Pentru orice numere reale $x_1$ și $x_2$, $x_1 \neq x_2 \Rightarrow f'(x_1) \neq f'(x_2)$, deci tangentele la graficul lui $f$ în punctele de coordonate $(x_1, f(x_1))$ și $(x_2, f(x_2))$ au pante diferite, deci sunt concurente **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ **1p**

$f'(x) \leq 0$, pentru orice $x \in (-\infty, 0] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(-\infty, 0]$, $f'(x) \geq 0$, pentru orice $x \in [0, +\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[0, +\infty)$ și, cum $f(0) = -9$, obținem $f(x) \geq -9$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$f(x^3) \geq -9 \Rightarrow e^{x^3} \geq x^3 + 1$, deci $e^{x^3} \geq (x+1)(x^2 - x + 1)$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**2.a)** $\int_1^3 \left( f(x) - \frac{9}{x} \right) dx = \int_1^3 \left( x + \frac{9}{x} - \frac{9}{x} \right) dx = \int_1^3 x dx = \frac{x^2}{2} \bigg _1^3 =$ **3p**

$= \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4$ **2p**

**b)** $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 9} \Rightarrow \mathcal{A} = \int_1^9 g(x) dx = \int_1^9 \frac{2x}{x^2 + 9} dx = \ln(x^2 + 9) \bigg _1^9 =$ **3p**

$= \ln 90 - \ln 10 = \ln 9 = 2 \ln 3$ **2p**

**c)** $\int_1^{\sqrt{3}} x \text{arctg } x dx = \int_1^{\sqrt{3}} \left( \frac{x^2 + 1}{2} \right)' \text{arctg } x dx = \frac{x^2 + 1}{2} \text{arctg } x \bigg _1^{\sqrt{3}} - \int_1^{\sqrt{3}} \frac{x^2 + 1}{2(x^2 + 1)} dx = \left( \frac{x^2 + 1}{2} \text{arctg } x - \frac{x}{2} \right) \bigg _1^{\sqrt{3}} =$ **3p**

$= \frac{5\pi}{12} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$, de unde obținem $a = 4$ **2p**

***