Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Model**

**Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, știind că $a_1 = 2$ și $a_3 = 8$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 5$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m) = f(1) + f(-1)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2(x^2 + 4) = 3$.

**5p** **4.** Un obiect costă $2000$ de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se scumpește de două ori, succesiv, cu câte $10\%$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(-1,1)$, $C(-1,-1)$ și $D(1,-1)$. Calculați perimetrul patrulaterului $ABCD$.

**5p** **6.** Calculați aria triunghiului $ABC$ dreptunghic în $A$, știind că $m(\sphericalangle B) = 45^\circ$ și $BC = 4\sqrt{2}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = 2xy - 8(x + y) + 36$.

**5p** **1.** Arătați că $0 * 4 = 4$.

**5p** **2.** Demonstrați că $x * y = 2(x - 4)(y - 4) + 4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **3.** Verificați dacă $e = \frac{9}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $(x - 1) * (x + 1) = 10$.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $3^{x^2} * 3^{x^2} * 3^{x^2} = 0$.

**5p** **6.** Dați exemplu de numere raționale $p$ și $q$, care nu sunt întregi, pentru care numărul $p * q$ este întreg.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A(a) = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ și $B(b) = \begin{pmatrix} 2 & b \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

**5p** **1.** Arătați că $\det(A(3)) = 2$.

**5p** **2.** Arătați că $A(2) \cdot B(2) = 2(A(2) + B(2))$.

**5p** **3.** Determinați inversa matricei $A(1)$.

**5p** **4.** Demonstrați că $\det(A(a) + B(b)) = \det(A(a)) + \det(B(b))$ dacă și numai dacă $a = b$.

**5p** **5.** Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $C(a) = B(a) \cdot A(a)$ este inversabilă.

**5p** **6.** Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $\det(A(n)) > n^2 - 7$.

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare