Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $S_3 = \frac{(a_1 + a_3) \cdot 3}{2} = \frac{(2 + 8) \cdot 3}{2} =$ **3p**

$= 15$ **2p**

**2.** $m + 5 = 1 + 5 + (-1) + 5$ **3p**

$m = 5$ **2p**

**3.** $x^2 + 4 = 2^3 \Rightarrow x^2 - 4 = 0$ **3p**

$x = -2$ sau $x = 2$, care convin **2p**

**4.** După prima scumpire cu $10\%$, prețul obiectului este $2000 + 10\% \cdot 2000 = 2200$ de lei **3p**

După a doua scumpire cu $10\%$, prețul obiectului este $2200 + 10\% \cdot 2200 = 2420$ de lei **2p**

**5.** $AB = BC = CD = DA = 2$ **3p**

$P_{ABCD} = 4 \cdot 2 = 8$ **2p**

**6.** $AB = AC = 4$ **2p**

$\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $0 * 4 = 2 \cdot 0 \cdot 4 - 8(0 + 4) + 36 =$ **3p**

$= 0 - 32 + 36 = 4$ **2p**

**2.** $x * y = 2xy - 8x - 8y + 32 + 4 =$ **2p**

$= 2x(y - 4) - 8(y - 4) + 4 = 2(x - 4)(y - 4) + 4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**3.** $x * \frac{9}{2} = 2(x - 4)\left(\frac{9}{2} - 4\right) + 4 = x - 4 + 4 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{9}{2} * x = 2\left(\frac{9}{2} - 4\right)(x - 4) + 4 = x - 4 + 4 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = \frac{9}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**4.** $2(x - 1 - 4)(x + 1 - 4) + 4 = 10 \Leftrightarrow x^2 - 8x + 12 = 0$ **3p**

$x = 2$ sau $x = 6$ **2p**

**5.** $3^{x^2} * 3^{x^2} = 2\left(3^{x^2} - 4\right)^2 + 4$, $3^{x^2} * 3^{x^2} * 3^{x^2} = 4\left(3^{x^2} - 4\right)^3 + 4$, unde $x$ este număr real **2p**

$\left(3^{x^2} - 4\right)^3 = -1 \Leftrightarrow 3^{x^2} = 3$, de unde obținem $x = -1$ sau $x = 1$ **3p**

**6.** $p * q \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 2(p - 4)(q - 4) \in \mathbb{Z}$; de exemplu, $p - 4 = \frac{3}{2}$, $q - 4 = \frac{2}{3}$ **2p**

$p = \frac{11}{2} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$, $q = \frac{14}{3} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ și $p * q = 6$, care este număr întreg **3p**

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $A(3)=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(3))=\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=3 \cdot 2-2 \cdot 2=$ **3p**

$=6-4=2$ **2p**

**2.** $A(2) \cdot B(2)=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 8 \end{pmatrix}$ **2p**

$2(A(2)+B(2))=2 \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 8 \end{pmatrix}$, deci $A(2) \cdot B(2)=2(A(2)+B(2))$ **3p**

**3.** $A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1))=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}=-2$ **2p**

$A^{-1}(1)=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ **3p**

**4.** $\det(A(a)+B(b))=\begin{vmatrix} a+2 & 2+b \\ 4 & 4 \end{vmatrix}=4a-4b$, $\det(A(a))+\det(B(b))=2a-2b$ **3p**

$4a-4b=2a-2b \Leftrightarrow a=b$ **2p**

**5.** $C(a)=\begin{pmatrix} 2 & a \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4a & 4+2a \\ 2a+4 & 8 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(C(a))=\begin{vmatrix} 4a & 4+2a \\ 2a+4 & 8 \end{vmatrix}=-4a^2+16a-16$ **3p**

Matricea $C(a)$ este inversabilă $\Leftrightarrow \det(C(a)) \neq 0$, de unde obținem $a \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$ **2p**

**6.** Cum $\det(A(n))=2n-4$, obținem $2n-4 > n^2-7 \Leftrightarrow n^2-2n-3 < 0$ **2p**

$n \in (-1,3)$ și, cum $n$ este număr natural nenul, obținem $n=1$ sau $n=2$ **3p**

***

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare