Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$ este egală cu 30. Determinați $a_2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+9$. Arătați că $(f \circ f)(3)=9$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2(x-6)=6-\log_2(x+6)$.

**5p** **4.** Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $\{0,1,2,3,4,5\}$.

**5p** **5.** Se consideră triunghiul $ABC$, punctul $D$ mijlocul laturii $AC$ și punctul $E$ mijlocul segmentului $BD$. Arătați că $\overrightarrow{CE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=2\sqrt{3}$, $A=\frac{\pi}{4}$ și $B=\frac{5\pi}{12}$. Determinați raza cercului circumscris triunghiului $ABC$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ a & 4 & 1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} ax+2y+z=4 \\ ax+4y+z=6 \\ x-y+az=1 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=0$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $a$ pentru care matricea $A(a)$ are rangul 2.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, știind că sistemul are soluție unică $(x_0, y_0, z_0)$ și $x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = xy - \frac{1}{2}(x+y) + \frac{3}{4}$. Legea de compoziție este asociativă și are elementul neutru $e = \frac{3}{2}$.

**5p** **a)** Demonstrați că $x * y = \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale nenule $x$ pentru care $\frac{1}{x} * x * \frac{1}{x} = x * \frac{1}{x} * x$.

**5p** **c)** Arătați că **nu** există numere întregi $x$ și $y$, astfel încât $x$ să fie simetricul lui $y$ în raport cu legea de compoziție „$*$”.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-8x+8\ln x+12-8\ln 2$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{2(x-2)^2}{x}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A(3,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**5p** **c)** Se consideră numerele reale $a$, $b$ și $c$ astfel încât punctul $M(a, b)$ este situat pe graficul funcției $g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=x^{2}-8 \ln 2+8 \ln x$ și punctul $N(a, c)$ este situat pe graficul funcției $h:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $h(x)=8 x-12$. Demonstrați că $b \geq c$, pentru orice $a \in[2,+\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{0}^{1}\left(x^{2}+4\right) f(x) d x=-\frac{11}{3}$.

**5p** **b)** Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este concavă pe $(-\infty, 0]$.

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural $n$, se consideră $I_{n}=\int_{1}^{2} x^{n} f(x) d x$. Demonstrați că $\lim _{n \rightarrow+\infty} I_{n}=-\infty$.

Model