Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} \Rightarrow 2a_2 = a_1 + a_3$ **3p**

$a_1 + a_2 + a_3 = 3a_2 \Leftrightarrow 30 = 3a_2 \Leftrightarrow a_2 = 10$ **2p**

**2.** $f(3) = 0$ **2p**

$(f \circ f)(3) = f(f(3)) = f(0) = 9$ **3p**

**3.** $(x-6)(x+6) = 2^6 \Rightarrow x^2 - 36 = 64 \Rightarrow x^2 - 100 = 0$ **

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**2.a)** $x * y = xy - \frac{x}{2} - \frac{y}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} =$ **2p**

$= x\left(y - \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(y - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(y - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**b)** $\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right) = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right) \Leftrightarrow \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x} - x\right) = 0$ **1p**

$\frac{1}{x} - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = 2$ **1p**

$x - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ **1p**

$\frac{1}{x} - x = 0 \Rightarrow x = -1$ sau $x = 1$ **2p**

**c)** Presupunem că există $x$ și $y$ numere întregi, astfel încât $x$ să fie simetricul lui $y$, deci $x * y = e$, de unde obținem $\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(y - \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ **2p**

$\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(y - \frac{1}{2}\right) = 1 \Rightarrow (2x - 1)(2y - 1) = 4$, ceea ce nu convine, deoarece $x$ și $y$ sunt numere întregi și $4$ este număr par **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 2x - 8 + \frac{8}{x} =$ **3p**

$= \frac{2x^2 - 8x + 8}{x} = \frac{2(x - 2)^2}{x}, x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** Dreapta este paralelă cu tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 2$, deci are panta egală cu $f'(2)$ **2p**

Cum $f'(2) = 0$, ecuația dreptei este $y = 3$ **3p**

**c)** $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in (0, +\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $(0, +\infty)$ și, cum $f(2) = 0$, obținem $f(a) \ge 0$, pentru orice $a \in [2, +\infty)$ **2p**

$f(a) \ge 0 \Rightarrow g(a) \ge h(a) \Rightarrow b \ge c$, pentru orice $a \in [2, +\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int_0^1 (x^2 + 4) f(x) dx = \int_0^1 (x^2 - 4) dx = \left( \frac{x^3}{3} - 4x \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{3} - 4 = -\frac{11}{3}$ **2p**

**b)** $F'(x) = f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4}$, $F''(x) = f'(x) = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}, x \in \mathbb{R}$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$ **3p**

$F''(x) \le 0$, pentru orice $x \in (-\infty, 0]$, deci funcția $F$ este concavă pe $(-\infty, 0]$ **2p**

**c)** $x \in [1, 2] \Rightarrow x^n(x^2 - 4) \le 0$ și $\frac{1}{x^2 + 4} \ge \frac{1}{8}$, deci $x^n f(x) \le \frac{1}{8} x^n(x^2 - 4)$ **2p**

$I_n \le \int_1^2 \frac{1}{8} x^n(x^2 - 4) dx = \frac{1}{8} \left( \frac{x^{n+3}}{n+3} - \frac{4x^{n+1}}{n+1} \right) \bigg _1^2 = \frac{1}{8} \left( -\frac{2^{n+4}}{(n+3)(n+1)} - \frac{1}{n+3} + \frac{4}{n+1} \right)$ **2p**

Cum $\lim_{n \to +\infty} \frac{2^{n+4}}{(n+3)(n+1)} = +\infty$, obținem $\lim_{n \to +\infty} I_n = -\infty$ **1p**

***