**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 3**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\left(10+\frac{1}{2}\right)\left(10-\frac{1}{2}\right)=\frac{399}{4}$.

**5p** **2.** Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=10-x$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log _{7}\left(x^{2}+13\right)=2$.

**5p** **4.** După o ieftinire cu $20 \%$, prețul unei tablete este $800$ de lei. Determinați prețul tabletei înainte de ieftinire.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,1)$ și $B(2,7)$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$. Calculați lungimea segmentului $AM$.

**5p** **6.** Arătați că $2 \sin ^{2} 30^{\circ}-\sin ^{2} 45^{\circ}=0$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} a+1 & 1 \\ 1 & a-1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0))=-2$.

**5p** **b)** Arătați că $A(a) \cdot A(-a)=\left(2-a^{2}\right) I_{2}$, pentru orice număr real $a$, unde $I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

**5p** **c)** Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$, știind că $A(1) \cdot X=A(2)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y=x^{2}+x y-x-y+1$.

**5p** **a)** Arătați că $3 * 2=11$.

**5p** **b)** Demonstrați că $x *(-x)=1$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$ pentru care $2^{x} * 4=1$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^{2}+2 x+3}{x^{2}+2 x+2}$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{-2(x+1)}{\left(x^{2}+2 x+2\right)^{2}}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați imaginea funcției $f$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4}}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{0}^{1} f(x) \sqrt{x^{2}+4} \, dx=\frac{5}{2}$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_{0}^{1}\left(f^{2}(x)-1\right) dx=2 \ln \frac{5}{4}$.

**5p** **c)** Determinați $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, primitiva lui $f$ pentru care $F(0)=0$.

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*