**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 3**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\left(10+\frac{1}{2}\right)\left(10-\frac{1}{2}\right)=100-\frac{1}{4}=$ **3p**

$=\frac{400-1}{4}=\frac{399}{4}$ **2p**

**2.** $f(x)=g(x) \Leftrightarrow 2x+1=10-x$ **3p**

$3x=9 \Rightarrow x=3$ **2p**

**3.** $x^2+13=7^2 \Rightarrow x^2-36=0$ **3p**

$x=-6$ sau $x=6$, care convin **2p**

**4.** $p-\frac{20}{100} \cdot p=800$, unde $p$ este prețul tabletei înainte de ieftinire **3p**

$p=1000$ de lei **2p**

**5.** $AB=6$ **2p**

$AM=\frac{AB}{2}=3$ **3p**

**6.** $\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$, $\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ **2p**

$2 \sin^2 30^{\circ}-\sin^2 45^{\circ}=2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=2 \cdot \frac{1}{4}-\frac{2}{4}=0$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0))=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=1 \cdot (-1)-1 \cdot 1=$ **3p**

$=-1-1=-2$ **2p**

**b)** $A(a) \cdot A(-a)=\begin{pmatrix} a+1 & 1 \\ 1 & a-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -a+1 & 1 \\ 1 & -a-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-a^2 & 0 \\ 0 & 2-a^2 \end{pmatrix}=$ **3p**

$=(2-a^2)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=(2-a^2)I_2$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**c)** $A(1)=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1))=-1 \neq 0$, deci există $(A(1))^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ **3p**

$X=A^{-1}(1) \cdot A(2) \Rightarrow X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ **2p**

**2.a)** $3 * 2=3^2+3 \cdot 2-3-2+1=$ **3p**

$=9+6-3-2+1=11$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**b)** $x * (-x) = x^2 + x \cdot (-x) - x - (-x) + 1 =$ **3p**

$= x^2 - x^2 - x + x + 1 = 1$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**c)** $2^{2x} + 4 \cdot 2^x - 2^x - 4 + 1 = 1 \Leftrightarrow 2^{2x} + 3 \cdot 2^x - 4 = 0 \Leftrightarrow (2^x + 4)(2^x - 1) = 0$ **3p**

$2^x = 1$, de unde obținem $x = 0$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{(2x+2)(x^2+2x+2) - (x^2+2x+3)(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2} =$ **3p**

$= \frac{(2x+2)(x^2+2x+2-x^2-2x-3)}{(x^2+2x+2)^2} = \frac{-2(x+1)}{(x^2+2x+2)^2}, \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+2x+3}{x^2+2x+2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}\right)} = 1$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = 1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$; pentru $x \in (-\infty, -1]$, $f'(x) \geq 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty, -1]$ și pentru $x \in [-1, +\infty)$, $f'(x) \leq 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-1, +\infty)$ **3p**

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1, \ f(-1) = 2, \ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1, \ f$ este continuă și $f(x) \neq 1$, pentru orice număr real $x$, deci $\text{Im } f = (1, 2]$ **2p**

**2.a)** $\int_0^1 f(x) \sqrt{x^2+4} dx = \int_0^1 (x+2) dx =$ **2p**

$= \left( \frac{x^2}{2} + 2x \right) \bigg _0^1 = \frac{5}{2}$ **3p**

**b)** $\int_0^1 (f^2(x) - 1) dx = \int_0^1 \left( \frac{x^2+4x+4}{x^2+4} - 1 \right) dx = \int_0^1 \frac{4x}{x^2+4} dx =$ **2p**

$= 2 \ln(x^2+4) \bigg _0^1 = 2 \ln 5 - 2 \ln 4 = 2 \ln \frac{5}{4}$ **3p**

**c)** $F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x \frac{t}{\sqrt{t^2+4}} dt + \int_0^x \frac{2}{\sqrt{t^2+4}} dt = \left( \sqrt{t^2+4} + 2 \ln(t + \sqrt{t^2+4}) \right) \bigg _0^x =$ **3p**

$= \sqrt{x^2+4} + 2 \ln(x + \sqrt{x^2+4}) - 2 - 2 \ln 2, \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale