**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 3**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați primul termen al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, știind că $a_2 = 3$ și $a_3 = 5$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 1$. Determinați numărul natural $n$ pentru care $f(n) = 3$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2 - 9} = x - 1$.

**5p** **4.** Determinați numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii $\{1, 2, 3, 4\}$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(1,1)$, $N(3,3)$, $P(4,3)$ și $Q(1,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, pentru care patrulaterul $MNPQ$ este trapez cu bazele $MN$ și $PQ$.

**5p** **6.** Calculați lungimea ipotenuzei $BC$ a triunghiului dreptunghic $ABC$, în care $AB = 5$ și $\cos B = \frac{1}{2}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A \cdot A) = a^2b^2$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **b)** Se consideră matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $A \cdot X = X \cdot A$. Demonstrați că, dacă $a$ și $b$ sunt numere reale distincte, atunci există numerele reale $x$ și $t$ astfel încât $X = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & t \end{pmatrix}$.

**5p** **c)** Pentru $a = 4$ și $b = 0$, determinați matricele $Y \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $Y \cdot Y = A$.

**2.** Pe mulțimea $M = [0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $x * y = x\sqrt{y+1} + y\sqrt{x+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $3 * 3 = 12$.

**5p** **b)** Demonstrați că $x * 0 = 0 * x = x$, pentru orice $x \in M$.

**5p** **c)** Determinați $x \in M$ pentru care $(x^2 + 2x) * 3 = 7$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x \ln(x+1)$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \ln(x+1) + \frac{x}{x+1}$, $x \in (-1, +\infty)$.

**5p** **b)** Arătați că funcția $f$ este convexă.

**5p** **c)** Se consideră funcția $g: (-1, 0] \to \mathbb{R}$, $g(x) = (x+1)^x$. Demonstrați că, dacă $x_1, x_2 \in (-1, 0]$ astfel încât $x_1 \le x_2$, atunci $g(x_1) \ge g(x_2)$.

**2.** Se consideră funcția $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$, $f(x) = 1 - x^3$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^1 f(x) dx = \frac{3}{4}$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_0^1 x^2 (f(x))^3 dx = \frac{1}{12}$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\int\limits_0^1 (f(x))^{n+1} dx \le \int\limits_0^1 (f(x))^n dx$, pentru orice număr natural nenul $n$.