**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 3**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $r = a_3 - a_2 = 2$ **3p**

$a_1 = a_2 - r = 1$ **2p**

**2.** $f(n) = n^2 - 1$, deci $n^2 - 1 = 3 \Rightarrow n^2 - 4 = 0$ **3p**

Cum $n$ este număr natural, obținem $n = 2$ **2p**

**3.** $x^2 - 9 = (x - 1)^2 \Rightarrow 2x = 10$ **3p**

$x = 5$, care convine **2p**

**4.** Numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii $\{1, 2, 3, 4\}$ este egal cu $C_4^3 = \frac{4!}{3! \cdot 1!} =$ **3p**

$= 4$ **2p**

**5.** $m_{MN} = 1$, $m_{PQ} = \frac{3 - a}{3}$ **2p**

$MN \parallel PQ$, de unde obținem $m_{MN} = m_{PQ} \Leftrightarrow 3 - a = 3 \Leftrightarrow a = 0$ **3p**

**6.** $\cos B = \frac{AB}{BC} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{5}{BC}$ **3p**

$BC = 10$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A \cdot A = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & b^2 \end{pmatrix}$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **3p**

$\det(A \cdot A) = \begin{vmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & b^2 \end{vmatrix} = a^2b^2$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

**b)** $X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$ cu $x, y, z, t \in \mathbb{R} \Rightarrow A \cdot X = \begin{pmatrix} ax & ay \\ bz & bt \end{pmatrix}$ și $X \cdot A = \begin{pmatrix} ax & by \\ az & bt \end{pmatrix}$ **3p**

$ay = by$ și $az = bz$, deci $y(a - b) = 0$ și $z(a - b) = 0$ și, cum $a \neq b$, obținem $y = z = 0$, deci există numerele reale $x$ și $t$ astfel încât $X = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & t \end{pmatrix}$ **2p**

**c)** $Y \cdot Y = A$, deci $A \cdot Y = (Y \cdot Y) \cdot Y = Y \cdot (Y \cdot Y) = Y \cdot A$, deci $Y = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$, unde $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ **2p**

$Y \cdot Y = \begin{pmatrix} \alpha^2 & 0 \\ 0 & \beta^2 \end{pmatrix}$, deci $\begin{pmatrix} \alpha^2 & 0 \\ 0 & \beta^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, de unde obținem $\alpha^2 = 4$ și $\beta^2 = 0$, deci $Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ sau $Y = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, care convin **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $3 * 3 = 3\sqrt{3+1} + 3\sqrt{3+1} =$ **3p**

$= 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2 = 6 + 6 = 12$ **2p**

**b)** $x * 0 = x \cdot \sqrt{0+1} + 0 \cdot \sqrt{x+1} = x$, pentru orice $x \in M$ **2p**

$0 * x = 0 \cdot \sqrt{x+1} + x \cdot \sqrt{0+1} = x$, pentru orice $x \in M \Rightarrow x * 0 = 0 * x = x$, pentru orice $x \in M$ **3p**

**c)** $(x^2 + 2x)\sqrt{3+1} + 3\sqrt{x^2 + 2x + 1} = 7 \Leftrightarrow 2(x^2 + 2x) + 3\sqrt{(x+1)^2} = 7 \Leftrightarrow 2x^2 + 7x - 4 = 0$ **3p**

$x = -4$, care nu convine, $x = \frac{1}{2}$, care convine$ **2p**

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.a)** $f'(x) = x' \ln(x+1) + x(\ln(x+1))' =$ **3p**

$= 1 \cdot \ln(x+1) + x \cdot \frac{1}{x+1} = \ln(x+1) + \frac{x}{x+1}, \ x \in (-1, +\infty)$ **2p**

**b)** $f''(x) = \frac{x+2}{(x+1)^2}, \ x \in (-1, +\infty)$ **3p**

$f''(x) > 0$, pentru orice $x \in (-1, +\infty)$, deci funcția $f$ este convexă **2p**

**c)** $\ln(x+1) \le 0$ și $\frac{x}{x+1} \le 0$, pentru orice $x \in (-1, 0]$, deci $f'(x) \le 0$, de unde obținem că $f$ este descrescătoare pe $(-1, 0]$ **2p**

Pentru orice $x_1, x_2 \in (-1, 0]$ cu $x_1 \le x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)$, deci $x_1 \ln(x_1+1) \ge x_2 \ln(x_2+1)$ de unde obținem $\ln(x_1+1)^{x_1} \ge \ln(x_2+1)^{x_2}$, deci $(x_1+1)^{x_1} \ge (x_2+1)^{x_2}$, adică $g(x_1) \ge g(x_2)$ **3p**

**2.a)** $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (1-x^3) dx = \left( x - \frac{x^4}{4} \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ **2p**

**b)** $\int_0^1 x^2 (f(x))^3 dx = \int_0^1 x^2 (1-x^3)^3 dx = -\frac{1}{3} \int_0^1 (1-x^3)' (1-x^3)^3 dx = -\frac{1}{12} (1-x^3)^4 \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 0 - \left( -\frac{1}{12} \right) = \frac{1}{12}$ **2p**

**c)** $\int_0^1 (f(x))^{n+1} dx - \int_0^1 (f(x))^n dx = \int_0^1 (1-x^3)^{n+1} dx - \int_0^1 (1-x^3)^n dx = -\int_0^1 x^3 (1-x^3)^n dx$, pentru orice număr natural nenul $n$ **2p**

$x^3 \ge 0$ și $1-x^3 \ge 0$, pentru orice $x \in [0, 1]$, deci $\int_0^1 (f(x))^{n+1} dx - \int_0^1 (f(x))^n dx \le 0$, de unde obținem $\int_0^1 (f(x))^{n+1} dx \le \int_0^1 (f(x))^n dx$, pentru orice număr natural nenul $n$ **3p**

***