**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Varianta 3**

**Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{96} \cdot \left( \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{\sqrt{6}} \right) = 2$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = 3x + 1$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x) = x - 1$. Determinați numărul natural $n$ pentru care $f(n) \cdot g(n) = 0$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2x+5} = 3^{6x-3}$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor egală cu dublul cifrei unităților.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele necoliniare $A(1,3)$, $B(3,5)$ și $C(0,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$.

**5p** **6.** Arătați că $\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ + \sin 30^\circ - 4 \sin^2 30^\circ = 1$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = -xy + 4x + 4y - 12$.

**5p** **1.** Arătați că $2 \circ 3 = 2$.

**5p** **2.** Arătați că legea de compoziție „$\circ$” este comutativă.

**5p** **3.** Demonstrați că $x \circ y = -(x-4)(y-4) + 4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **4.** Demonstrați că $x \circ 4 = 4$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = x$.

**5p** **6.** Se consideră progresia aritmetică $(a_n)_{n \ge 1}$ cu $a_1 = -5$ și rația $r = 3$. Arătați că $a_1 \circ a_2 \circ a_3 \circ a_4 = 4$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det A = 3$.

**5p** **2.** Arătați că $B(1) + B(3) = 2B(2)$.

**5p** **3.** Arătați că $\det(B(x)) = 1$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **4.** Arătați că $B(x) \cdot B(y) = B(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **5.** Determinați numărul real $x$ pentru care $A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.

**5p** **6.** Determinați perechile de numere naturale $(m,n)$, pentru care $B(2^m) \cdot B(2^n) = B(2^{m+n} - 2)$.

***

Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare