**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 3**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $\sqrt{96} \cdot \left( \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{\sqrt{6}} \right) = 4\sqrt{6} \cdot \frac{6-4}{4\sqrt{6}} =$ **3p**

$= 6 - 4 = 2$ **2p**

**2.** $(3n+1)(n-1) = 0$ **2p**

Cum $n$ este număr natural, obținem $n=1$ **3p**

**3.** $2x+5 = 6x-3 \Leftrightarrow 4x = 8$ **3p**

$x = 2$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

Numerele naturale de două cifre, care au cifra zecilor egală cu dublul cifrei unităților sunt 21, 42, 63 și 84, deci sunt 4 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{4}{90} = \frac{2}{45}$ **1p**

**5.** Panta dreptei $AB$ este egală cu 1, panta dreptei $AC$ este egală cu $3-a$ **2p**

$1 \cdot (3-a) = -1$, deci $a = 4$ **3p**

**6.** $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ **2p**

$\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ + \sin 30^\circ - 4 \sin^2 30^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1$ **3p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** $2 \circ 3 = -2 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3 - 12 =$ **3p**

$= -6 + 8 + 12 - 12 = 2$ **2p**

**2.** $x \circ y = -xy + 4x + 4y - 12 = -yx + 4y + 4x - 12 =$ **2p**

$= y \circ x$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$\circ$” este comutativă **3p**

**3.** $x \circ y = -xy + 4x + 4y - 16 + 4 =$ **2p**

$= -x(y-4) + 4(y-4) + 4 = -(x-4)(y-4) + 4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**4.** $x \circ 4 = -(x-4)(4-4) + 4 =$ **3p**

$= -(x-4) \cdot 0 + 4 = 4$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**5.** $x \circ x = -(x-4)^2 + 4$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$-(x-4)^2 + 4 = x \Leftrightarrow (x-4)(x-3) = 0$, deci $x=3$ sau $x=4$ **3p**

**6.** $a_4 = a_1 + 3r = -5 + 3 \cdot 3 = 4$ **2p**

$a_1 \circ a_2 \circ a_3 \circ a_4 = (a_1 \circ a_2 \circ a_3) \circ 4 = 4$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2 =$ **3p**

$= 1 + 2 = 3$ **2p**

**2.** $B(1) + B(3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2B(2)$ **2p**

**3.** $\det(B(x)) = \begin{vmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 1 \cdot 1 - x \cdot 0 = 1$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**4.** $B(x) \cdot B(y) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x+y \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= B(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**5.** $A \cdot B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x+2 \\ -1 & -x+1 \end{pmatrix}$, $B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} 1-x & 2+x \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$A \cdot B(x) = B(x) \cdot A \Leftrightarrow x = 0$ **2p**

**6.** $B(2^m + 2^n) = B(2^{m+n} - 2)$, de unde obținem $2^m + 2^n = 2^{m+n} - 2 \Leftrightarrow 2^{m+n} - 2^m - 2^n + 1 = 3$, **3p**

deci $(2^m - 1)(2^n - 1) = 3$

Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, obținem perechile $(1, 2)$ și $(2, 1)$ **2p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare