**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 3**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră numărul complex $z=2+i$. Arătați că $z^2-4z+5=0$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x+a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $M(0,2)$ aparține graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x=\sqrt[3]{x^3+2x}$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$, acesta să aibă cifra zecilor egală cu 2 și cifra unităților egală cu 3.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$, $B(2,3)$ și $C(4,a)$, unde $a$ este un număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $C$ este situat pe mediatoarea segmentului $AB$.

**5p** **6.** Măsurile unghiurilor $A$, $B$ și $C$ ale triunghiului $ABC$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Demonstrați că măsura unghiului $B$ este egală cu $\frac{\pi}{3}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(x)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1+\ln x \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x \in(0,+\infty)$.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=1$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(x) A(y)=A(y) A(x)$, pentru orice $x, y \in(0,+\infty)$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural $n$ pentru care $A\left(\frac{1}{3}\right) \cdot A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(1) \cdot A(2) \cdot A(3)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y=x y-4(x+y)+a$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Pentru $a=10$, arătați că $1 * 2=0$.

**5p** **b)** Pentru $a=20$, arătați că $e=5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Demonstrați că, dacă $a \in[20,+\infty)$, atunci mulțimea $H=[4,+\infty)$ este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „$*$”.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow(0,+\infty)$, $f(x)=6^x-3^x+2^x$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(0)=\ln 4$.

**5p** **b)** Se consideră tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(a, \ln (16 e))$ este situat pe această tangentă.

**5p** **c)** Calculați $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (f(x))}{x}$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=1-\frac{2 x}{x^{2}+3}-\frac{2}{x^{2}+3}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{1}^{2}\left(x^{2}+3\right) f(x) d x=\frac{1}{3}$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_{0}^{1} f(x) d x=1-\ln \frac{4}{3}-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$.

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_{n}=\int_{0}^{1} f^{n}(x) d x$. Arătați că $\lim _{n \rightarrow+\infty} I_{n}=0$.