**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 3**

* **Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $z^2-4z+5=(2+i)^2-4(2+i)+5=4+4i+i^2-8-4i+5=$ **3p**

$=i^2+1=-1+1=0$ **2p**

**2.** $M(0,2) \in G_f \Leftrightarrow f(0)=2$ **3p**

$a=2$ **2p**

**3.** $x^3=x^3+2x \Leftrightarrow 2x=0$ **3p**

$x=0$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$ are $5!=120$ de elemente, deci sunt $120$ de cazuri posibile **2p**

Numerele naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea $\{1,2,3,4,5\}$, care au cifra zecilor egală cu $2$ și cifra unităților egală cu $3$, sunt $6$, deci sunt $6$ cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$ **1p**

**5.** $CA=CB \Leftrightarrow \sqrt{(4-0)^2+(a-1)^2} = \sqrt{(4-2)^2+(a-3)^2}$ **3p**

$16+a^2-2a+1=4+a^2-6a+9 \Leftrightarrow a=-1$ **2p**

**6.** $A+B+C=\pi$, $2B=A+C$ **3p**

$3B=\pi \Rightarrow B=\frac{\pi}{3}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =$ **3p**

$=1+0+0-0-0-0=1$ **2p**

**b)** $A(x)A(y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2+\ln(xy) \\ 0 & xy & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =$ **2p**

$= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2+\ln(yx) \\ 0 & yx & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A(y)A(x)$, pentru orice $x, y \in (0, +\infty)$ **3p**

**c)** $A\left(\frac{1}{3}\right)A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A\left(\frac{1}{2}\right)A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ **2p**

$A\left(\frac{1}{3}\right) \cdot A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(1) \cdot A(2) \cdot A(3) = A\left(\frac{1}{3}\right) \cdot A(3) \cdot A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(2) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow n=5$ **3p**

***

Varianta 3

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $1 * 2 = 1 \cdot 2 - 4(1 + 2) + 10 =$ **3p**

$= 2 - 12 + 10 = 0$ **2p**

**b)** $x * 5 = x \cdot 5 - 4(x + 5) + 20 = 5x - 4x - 20 + 20 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$5 * x = 5x - 4(5 + x) + 20 = 5x - 20 - 4x + 20 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = 5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**c)** $x * y = (x - 4)(y - 4) + a - 16$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

$x, y \in H \Rightarrow x - 4 \ge 0$ și $y - 4 \ge 0$ și, cum $a \ge 20$, obținem $x * y \ge 4 \Rightarrow x * y \in H$, deci $H$ este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „$*$” **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 6^x \ln 6 - 3^x \ln 3 + 2^x \ln 2$, $x \in \mathbb{R}$ **3p**

$f'(0) = \ln 6 - \ln 3 + \ln 2 = \ln 4$ **2p**

**b)** Ecuația tangentei este $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$ și, cum $f(0) = 1$, obținem $y = x \ln 4 + 1$ **3p**

$\ln(16e) = a \ln 4 + 1 \Rightarrow 1 + \ln 16 = \ln(4^a) + 1$, deci $a = 2$ **2p**

**c)** $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(f(x))}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{f'(0)}{f(0)} =$ **3p**

$= \frac{\ln 4}{1} = \ln 4$ **2p**

**2.a)** $\int_1^2 (x^2 + 3) f(x) dx = \int_1^2 (x^2 + 3 - 2x - 2) dx = \int_1^2 (x^2 - 2x + 1) dx = \frac{(x - 1)^3}{3} \bigg _1^2 =$ **3p**

$= \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ **2p**

**b)** $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \left( 1 - \frac{2x}{x^2 + 3} - \frac{2}{x^2 + 3} \right) dx = \left( x - \ln(x^2 + 3) - \frac{2}{\sqrt{3}} \text{arctg} \frac{x}{\sqrt{3}} \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 1 - \ln 4 - \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} + \ln 3 = 1 - \ln \frac{4}{3} - \frac{\pi \sqrt{3}}{9}$ **2p**

**c)** Pentru orice $x \in [0, 1]$, $f'(x) = \frac{2(x - 1)(x + 3)}{(x^2 + 3)^2} \le 0 \Rightarrow f(1) \le f(x) \le f(0) \Rightarrow 0 \le f(x) \le \frac{1}{3}$ **2p**

$0 \le I_n \le \int_0^1 \left( \frac{1}{3} \right)^n dx$, deci $0 \le I_n \le \left( \frac{1}{3} \right)^n$ și, cum $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3} \right)^n = 0$, obținem că $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$ **3p**

***