**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 6**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\sqrt{3}(2\sqrt{3}+1)-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}=$ **3p**

$=2\cdot 3=6$ **2p**

**2.** $a^2-4a+2=2 \Leftrightarrow a^2-4a=0$ **3p**

$a=0$ sau $a=4$ **2p**

**3.** $x-1=9$ **3p**

$x=10$, care convine **2p**

**4.** $x-\frac{10}{100}\cdot x=180$, unde $x$ este prețul inițial al obiectului **3p**

$x=200$ de lei **2p**

**5.** $AB=BC \Rightarrow CD$ este înălțime în $\Delta ABC$, unde $D(0,1)$ este mijlocul segmentului $AB$ **3p**

$CD=3$ **2p**

**6.** $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ **2p**

$\sqrt{3}\cdot \sin 60^\circ - \sqrt{2}\cdot \cos 45^\circ = \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot 2 - 3\cdot 0 =$ **3p**

$= 2-0=2$ **2p**

**b)** $A\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ **2p**

$3A-A\cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2I_2$ **3p**

**c)** $xA-I_2 = \begin{pmatrix} x-1 & 3x \\ 0 & 2x-1 \end{pmatrix}$, $(xA-I_2)(xA-I_2) = \begin{pmatrix} (x-1)^2 & 9x^2-6x \\ 0 & (2x-1)^2 \end{pmatrix}$, $5A-I_2 = \begin{pmatrix} 4 & 15 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}$ **3p**

Cum $(x-1)^2=4$, $9x^2-6x=15$ și $(2x-1)^2=9$, obținem $x=-1$ **2p**

**2.a)** $3 \circ (-1) = 3^2 + (3+1)(-1+1) + (-1)^2 =$ **3p**

$= 9 + 4\cdot 0 + 1 = 10$ **2p**

**b)** $x \circ y = x^2 + (x+1)(y+1) + y^2 =$ **2p**

$= y^2 + (y+1)(x+1) + x^2 = y \circ x$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$\circ$” este comutativă **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**c)** $x \circ 1 = x^2 + 2(x+1) + 1^2 = x^2 + 2x + 1 + 2 =$ **3p**

$= (x+1)^2 + 2 \ge 2$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = (x-1)' \ln x + (x-1)(\ln x)' =$ **3p**

$= \ln x + (x-1) \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x} + \ln x$, $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $f(1) = 0$, $f'(1) = 0$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(1) = f'(1)(x-1)$, adică $y = 0$ **3p**

**c)** $x \in (0,1] \Rightarrow \ln x \le 0$ și $1 - \frac{1}{x} \le 0$ **3p**

$f'(x) \le 0$, pentru orice număr real $x \in (0,1]$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$ **2p**

**2.a)** $\int\limits_0^1 (x^2 + 1) f(x) \, dx = \int\limits_0^1 (x^2 + 1 + x - 2) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{6}$ **2p**

**b)** $F(x) = \int\limits_0^x f(t) \, dt = \int\limits_0^x \left( 1 + \frac{t}{t^2+1} - \frac{2}{t^2+1} \right) dt = \left( t + \frac{1}{2} \ln(t^2+1) - 2\text{arctg } t \right) \bigg _0^x =$ **3p**

$= x + \frac{1}{2} \ln(x^2+1) - 2\text{arctg } x$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**c)** $f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2x}{x^2+1}$, pentru orice număr real $x$, $x \neq 0$ **2p**

$\int\limits_1^2 \left( f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) \right) dx = \int\limits_1^2 \frac{2x}{x^2+1} \, dx = \ln(x^2+1) \bigg _1^2 = \ln \frac{5}{2}$ **3p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale