**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 6**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Se consideră o progresie aritmetică $(a_n)_{n \ge 1}$ cu $a_1 = 2$ și rația $r = 3$. Calculați $a_3$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 1$. Determinați numerele reale $x$ pentru care $f(x^2) = 9$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2x+2} - 3^{2x} = 8$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, acesta să fie divizor al lui 100.

**5p** **5.** Se consideră un punct $P$ în planul paralelogramului $ABCD$. Arătați că $\vec{PA} + \vec{PC} = \vec{PB} + \vec{PD}$.

**5p** **6.** Arătați că $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$, pentru orice număr real $x$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 12+a & a \\ 1+a & 3+a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0)) = 36$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det(A(a) - (12+a)I_2) = 0$, unde $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

**5p** **c)** Se consideră matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea $X \cdot X = A(0)$. Arătați că cel puțin un element al matricei $X$ este număr irațional.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x + \sqrt[3]{y-2}$.

**5p** **a)** Arătați că $1 \circ 1 = 0$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $a$ pentru care $x \circ a = x$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x^6 = 4$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x^2 - 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = 2x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right)$, $x \in (1, +\infty)$.

**5p** **b)** Calculați $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - f(x)}{x}$.

**5p** **c)** Demonstrați că axa $Ox$ este tangentă la graficul funcției $f$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x}{x^2 + 2x + 2}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_0^1 (x^2 + 2x + 2)f(x)dx = \frac{1}{2}$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_0^2 \left(f(x) + \frac{1}{x^2 + 2x + 2}\right)dx = \frac{1}{2}\ln 5$.

**5p** **c)** Arătați că $\int_1^e \left(\frac{1}{f(x)} - 2\right)\ln x dx = \frac{e^2 + 5}{4}$.

***