**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 6**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $a_3 = a_1 + 2r = 2 + 2 \cdot 3 =$ **3p**

$= 8$ **2p**

**2.** $2x^2 + 1 = 9 \Leftrightarrow x^2 = 4$ **3p**

$x = -2$ sau $x = 2$ **2p**

**3.** $3^{2x} \left( 3^2 - 1 \right) = 8 \Leftrightarrow 3^{2x} = 1$ **3p**

$x = 0$ **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile **2p**

Divizorii din mulțimea $A$ ai numărului 100 sunt 1, 2, 4 și 5, deci sunt 4 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{4}{9}$ **1p**

**5.** $ABCD$ este paralelogram și pentru $\{O\} = AC \cap BD$, obținem $\vec{PO} = \frac{1}{2} \left( \vec{PA} + \vec{PC} \right)$ **3p**

$\vec{PO} = \frac{1}{2} \left( \vec{PB} + \vec{PD} \right)$, deci $\vec{PA} + \vec{PC} = \vec{PB} + \vec{PD}$ **2p**

**6.** $\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4} \cos x + \cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} =$ **2p**

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = 0$, pentru orice număr real $x$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 12 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 12 \cdot 3 - 0 \cdot 1 =$ **3p**

$= 36 - 0 = 36$ **2p**

**b)** $A(a) - (12 + a)I_2 = \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 + a & -9 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(a) - (12 + a)I_2) = \begin{vmatrix} 0 & a \\ 1 + a & -9 \end{vmatrix} = -a(1 + a)$ **3p**

$a(1 + a) = 0$, de unde obținem $a = 0$ sau $a = -1$ **2p**

**c)** $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, deci $X \cdot X = A(0) \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a^2 + bc & b(a + d) \\ c(a + d) & d^2 + bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ **2p**

Din $b(a + d) = 0$ și $c(a + d) = 1$, rezultă $a + d \neq 0$ și $b = 0$ și, cum $d^2 + bc = 3$, obținem $d^2 = 3$, deci $d$ este număr irațional **3p**

**2.a)** $1 \circ 1 = 1 + \sqrt[3]{1 - 2} =$ **3p**

$= 1 + 1 - 2 = 0$ **2p**

**b)** $x + \sqrt[3]{a - 2} = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\sqrt[3]{a - 2} = 2 \Leftrightarrow a = 8$ **3p**

Varianta 6

Barem de evaluare și de notare

**c)** $x + \sqrt[3]{x^6} - 2 = 4$, deci $x^2 + x - 6 = 0$ **3p**

$x = -3$ sau $x = 2$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \left(x^2\right)' - \left(2\sqrt{x^2-1}\right)' = 2x - 2 \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}} =$ **3p**

$= 2x - \frac{2x}{\sqrt{x^2-1}} = 2x \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \right), \ x \in (1, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2\sqrt{x^2-1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}{x} =$ **3p**

$= 2 \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = 2$ **2p**

**c)** $f(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 2\sqrt{x^2-1} \Leftrightarrow x^4 = 4(x^2-1) \Leftrightarrow \left(x^2-2\right)^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 2$ și, cum $x > 1$, obținem $x = \sqrt{2}$ **2p**

$A(\sqrt{2}, 0)$ este punctul de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$ și, cum panta tangentei la graficul funcției $f$ în punctul $A$ este $f'(\sqrt{2}) = 0$, obținem că axa $Ox$ este tangentă la graficul funcției $f$ **3p**

**2.a)** $\int_0^1 (x^2 + 2x + 2) f(x) dx = \int_0^1 (x^2 + 2x + 2) \frac{x}{x^2 + 2x + 2} dx = \int_0^1 x dx =$ **2p**

$= \left. \frac{x^2}{2} \right _0^1 = \frac{1}{2}$ **3p**

**b)** $\int_0^2 \left( f(x) + \frac{1}{x^2 + 2x + 2} \right) dx = \int_0^2 \frac{x+1}{x^2 + 2x + 2} dx = \frac{1}{2} \int_0^2 \frac{(x^2 + 2x + 2)'}{x^2 + 2x + 2} dx =$ **2p**

$= \left. \frac{1}{2} \ln(x^2 + 2x + 2) \right _0^2 = \frac{1}{2} \ln 5$ **3p**

**c)** $\int_1^e \left( \frac{1}{f(x)} - 2 \right) \ln x dx = \int_1^e \left( x + \frac{2}{x} \right) \ln x dx = \int_1^e x \ln x dx + 2 \int_1^e \frac{1}{x} \ln x dx = \int_1^e \left( \frac{x^2}{2} \right)' \ln x dx + 2 \int_1^e (\ln x)' \ln x dx =$ **3p**

$= \left. \frac{x^2}{2} \ln x \right _1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx + \left. 2 \cdot \frac{1}{2} \ln^2 x \right _1^e = \frac{e^2}{2} - \left. \frac{x^2}{4} \right _1^e + \ln^2 e - \ln^2 1 = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{e^2 + 5}{4}$ **2p**