**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Varianta 6**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Se consideră o progresie aritmetică $(a_n)_{n \ge 1}$ cu $a_1 = 5$ și $r = -2$. Calculați $a_3$.

**5p** **2.** Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A(1,2)$ aparține graficului funcției $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + ax + 3$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x} = \sqrt{x^2 - 2}$.

**5p** **4.** Un pix costă de cinci ori mai mult decât un creion și de șapte ori mai puțin decât un stilou. Determinați cât costă un creion, dacă un stilou costă $70$ de lei.

**5p** **5.** Se consideră un paralelogram $ABCD$ și $O$, punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$. Arătați că $\vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$.

**5p** **6.** În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, avem $AC = 2AB$ și $BC = 5$. Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $3\sqrt{5} + 5$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x^2 - xy + y^2$.

**5p** **1.** Arătați că $1 \circ 2 = 3$.

**5p** **2.** Demonstrați că legea de compoziție „$\circ$” este comutativă.

**5p** **3.** Dacă $a = (1 \circ 3) \circ 2$ și $b = 1 \circ (3 \circ 2)$, calculați $b - a$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = 4$.

**5p** **5.** Demonstrați că, dacă $x$ și $y$ sunt numere reale pentru care $x \circ y = 0$, atunci $x = y = 0$.

**5p** **6.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $3 \circ 2^x = 7$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det(A(5)) = 1$.

**5p** **2.** Calculați $\det(A(1) + A(2))$.

**5p** **3.** Demonstrați că $A(a) \cdot A(b) = A(a + b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **4.** Determinați numărul real $a$ pentru care $A(a) \cdot A(2a) = A(30)$.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det(I_2 + xA(x)) = 25$.

**5p** **6.** Determinați numerele naturale $n$ pentru care $A(n) \cdot A(n) = A(2n^2)$.

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare