**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 6**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $a_3 = a_1 + 2r =$ **3p**

$= 5 + 2 \cdot (-2) = 1$ **2p**

**2.** $f(1) = 2 \Leftrightarrow 1 + a + 3 = 2$ **3p**

$a = -2$ **2p**

**3.** $x = x^2 - 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$ **3p**

$x = -1$, care nu convine, $x = 2$, care convine **2p**

**4.** $x$ este prețul unui creion, $5x$ este prețul unui pix, $35x$ este prețul unui stilou și $35x = 70$ **3p**

$x = 2$ lei **2p**

**5.** $ABCD$ este paralelogram, deci $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ **2p**

$O$ este mijlocul segmentului $AC$, deci $\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$ **3p**

**6.** $BC^2 = AB^2 + AC^2$ și $AC = 2AB$, deci $AB = \sqrt{5}$ **3p**

$P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = \sqrt{5} + 5 + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5} + 5$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $1 \circ 2 = 1^2 - 1 \cdot 2 + 2^2 =$ **3p**

$= 1 - 2 + 4 = 3$ **2p**

**2.** $x \circ y = x^2 - xy + y^2 = y^2 - yx + x^2 =$ **3p**

$= y \circ x$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$\circ$” este comutativă **2p**

**3.** $a = (1 \circ 3) \circ 2 = (1 - 3 + 9) \circ 2 = 7 \circ 2 = 49 - 14 + 4 = 39$ **3p**

$b = 1 \circ (3 \circ 2) = 1 \circ (9 - 6 + 4) = 1 \circ 7 = 1 - 7 + 49 = 43 \Rightarrow b - a = 43 - 39 = 4$ **2p**

**4.** $x \circ x = x^2 - x^2 + x^2 = x^2$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$x^2 = 4$, deci $x = -2$ sau $x = 2$ **2p**

**5.** $x \circ y = 0 \Leftrightarrow x^2 - xy + y^2 = 0 \Leftrightarrow x^2 - xy + \frac{y^2}{4} + \frac{3y^2}{4} = 0 \Leftrightarrow \left(x - \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{3y^2}{4} = 0$ **2p**

$x - \frac{y}{2} = 0$ și $y = 0$, de unde obținem $x = y = 0$ **3p**

**6.** $9 - 3 \cdot 2^x + 2^{2x} = 7 \Leftrightarrow (2^x - 1)(2^x - 2) = 0$ **3p**

$x = 0$ sau $x = 1$ **2p**

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** $A(5) = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(5)) = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0 =$ **3p**

$= 1 - 0 = 1$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**2.** $A(1)+A(2)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ **2p**

$\det(A(1)+A(2))=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=4$ **3p**

**3.** $A(a) \cdot A(b)=\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & b+a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=$ **3p**

$=\begin{pmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=A(a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

**4.** $A(a) \cdot A(2a)=A(a+2a)=A(3a)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$A(3a)=A(30)$, de unde obținem $3a=30$, deci $a=10$ **3p**

**5.** $I_2+xA(x)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}+x\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+x & x^2 \\ 0 & 1+x \end{pmatrix} \Rightarrow \det(I_2+xA(x))=(1+x)^2$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$(1+x)^2=25$, deci $x=-6$ sau $x=4$ **2p**

**6.** $A(n+n)=A(2n^2)$, de unde obținem $2n=2n^2$ **3p**

$n=0$ sau $n=1$, care convin **2p**

***

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*