**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 6**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că numărul $z=(1-i \sqrt{2})(1+i \sqrt{2})$ este natural, unde $i^{2}=-1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=3 x+a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că $f(x)+f(1-x)=7$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x}+5^{-x}=2$.

**5p** **4.** Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,4,5\}$. Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $A$, care îl conțin pe 1.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $M(-4,4)$. Determinați ecuația dreptei $d$ care trece prin punctul $M$ și este perpendiculară pe dreapta $OM$.

**5p** **6.** Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$ și $\sin B=\cos B$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ a^{2}+1 & a^{2}+2 & a^{2}+3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0))=-1$.

**5p** **b)** Demonstrați că, pentru orice număr real $a$, matricea $A(a)$ este inversabilă.

**5p** **c)** Determinați numerele întregi $a$ pentru care inversa matricei $A(a)$ are toate elementele numere întregi

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_0^1 f^2(x) dx = \frac{1}{3} \ln 2$.

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n = \int\limits_0^1 f\left(x^n\right) dx$. Demonstrați că $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n = 0$.