**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 6**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $z = 1 - (i\sqrt{2})^2 = 1 - 2i^2 = 1 - 2(-1) =$ **3p**

$= 1 + 2 = 3$, care este număr natural **2p**

**2.** $f(x) + f(1-x) = 3x + a + 3(1-x) + a = 2a + 3$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$2a + 3 = 7 \Rightarrow a = 2$ **2p**

**3.** $5^x + 5^{-x} - 2 = 0 \Leftrightarrow (5^x - 1)^2 = 0$ **3p**

$5^x = 1$, deci $x = 0$ **2p**

**4.** Numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui $A$, care îl conțin pe 1, este egal cu numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii $\{2,3,4,5\}$, deci este egal cu $C_4^2 =$ **3p**

$= \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6$ **2p**

**5.** $m_{OM} = -1$ și, cum $m_{OM} \cdot m_d = -1$, obținem $m_d = 1$ **2p**

Ecuația dreptei $d$ este $y - y_M = m_d(x - x_M)$, deci $y = x + 8$ **3p**

**6.** $\sin B = \frac{AC}{BC}$ **2p**

$\cos B = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AB = AC$, deci triunghiul $ABC$ este isoscel **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0 + 4 + 3 - 4 - 0 - 4 = -1$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = -(a^2 - a + 1)$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$a^2 - a + 1 \neq 0$, pentru orice număr real $a \Rightarrow \det(A(a)) \neq 0$, deci matricea $A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $a$ **2p**

**c)** Cum $a \in \mathbb{Z}$, inversa matricei $A(a)$ are toate elementele numere întregi dacă $\det(A(a))$ este divizor al lui 1 și, cum $\det(A(a)) < 0$, pentru orice număr real $a$, obținem că $\det(A(a)) = -1$ **3p**

$a = 0$ sau $a = 1$, care convin **2p**

**2.a)** $1 * 2020 = \frac{1}{2} \sqrt[3]{1^3 \cdot 2020^3 - 1^3 - 2020^3 + 9} =$ **3p**

$= \frac{1}{2} \sqrt[3]{-1 + 9} = \frac{1}{2} \sqrt[3]{8} = 1$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**b)** $x * y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x^3 y^3 - x^3 - y^3 + 1 + 8} = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x^3 \left( y^3 - 1 \right) - \left( y^3 - 1 \right) + 8} =$ **3p**

$= \sqrt[3]{\frac{1}{8} \left( x^3 - 1 \right) \left( y^3 - 1 \right) + \frac{1}{8} \cdot 8} = \sqrt[3]{\frac{1}{8} \left( x^3 - 1 \right) \left( y^3 - 1 \right) + 1}$, pentru orice $x, y \in A$ **2p**

**c)** $x * x = \sqrt[3]{\frac{1}{8} \left( x^3 - 1 \right)^2 + 1}$, pentru orice $x \in A$, deci $\frac{1}{8} \left( x^3 - 1 \right)^2 + 1 = x^3$ **2p**

$\left( x^3 - 1 \right)^2 = 8 \left( x^3 - 1 \right)$, deci $x^3 - 1 = 0$ sau $x^3 - 1 = 8$, de unde $x = 1$ sau $x = \sqrt[3]{9}$, care convin **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{-1}{(x-2)^2} + \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x - (x-1)}{x^2} = \frac{-x(x-1) + (x-2)^2}{x(x-1)(x-2)^2} =$ **3p**

$= \frac{-x^2 + x + x^2 - 4x + 4}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{-3x + 4}{x(x-1)(x-2)^2}$, $x \in (2, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{x-2} + \ln \frac{x-1}{x} \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{x-2} + \ln \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \right) = 0$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $x \in (2, +\infty) \Rightarrow f'(x) < 0$, deci $f$ strict descrescătoare pe $(2, +\infty)$ și, cum $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$, obținem că $f(x) > 0$, pentru orice $x \in (2, +\infty)$ **3p**

$\frac{1}{x-2} + \ln \frac{x-1}{x} > 0$, deci $\frac{1}{x-2} > -\ln \frac{x-1}{x}$, de unde obținem că $\frac{1}{x-2} > \ln \frac{x}{x-1}$, pentru orice $x \in (2, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int_0^1 (x^3 + 1) f^2(x) dx = \int_0^1 (x^3 + 1) \left( \frac{x}{\sqrt{x^3 + 1}} \right)^2 dx = \int_0^1 x^2 dx =$ **3p**

$= \frac{x^3}{3} \bigg _0^1 = \frac{1}{3}$ **2p**

**b)** $\int_0^1 f^2(x) dx = \int_0^1 \frac{x^2}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{(x^3 + 1)'}{x^3 + 1} dx =$ **3p**

$= \frac{1}{3} \ln(x^3 + 1) \bigg _0^1 = \frac{1}{3} \ln 2$ **2p**

**c)** $I_n = \int_0^1 f(x^n) dx = \int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{x^{3n} + 1}} dx$ și, cum $0 \le \frac{x^n}{\sqrt{x^{3n} + 1}} \le x^n$, pentru $x \in [0, 1]$ și, pentru fiecare număr natural nenul $n$, obținem $0 \le I_n \le \int_0^1 x^n dx$ **3p**

$0 \le I_n \le \frac{1}{n+1}$, pentru fiecare număr natural nenul $n$ și, cum $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$, obținem $\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$ **2p**

***