Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 8**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) : \left( 1 - \frac{1}{12} \right) = 1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 4$. Arătați că $f(-2) + f(2) = 4f(0)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_8(x^2 - 27) = \log_8(x - 3)^2$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19\}$, acesta să fie număr par.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,3)$ și $B(8,3)$. Determinați coordonatele punctului $C$, știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$.

**5p** **6.** Arătați că $\cos^2 30^\circ + \sin^2 60^\circ - 2 \cos 30^\circ \cdot \sin 60^\circ = 0$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det M = 3$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $a$ pentru care $A(a) \cdot A(a) = 4A(a) - I_2$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\det(aA(a) + M) = 0$.

**2.** Se consideră polinomul $f = X^3 - 4X^2 + mX + 2$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $f(2) = 2m - 6$, pentru orice număr real $m$.

**5p** **b)** Demonstrați că, pentru orice număr real $m$, numărul $E = x_1^2 x_2 x_3 + x_1 x_2^2 x_3 + x_1 x_2 x_3^2$ este întreg, unde $x_1, x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

**5p** **c)** Pentru $m = 3$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 7x^3 - 5x^2 + x + 1$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = (3x - 1)(7x - 1)$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Calculați $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x f'(x)}{f(x)}$.

**5p** **c)** Demonstrați că $f(x) \le \frac{52}{49}$, pentru orice $x \in \left( -\infty, \frac{1}{3} \right]$.

**2.** Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \begin{cases} x^2 + 8x - 2, & x \in (-\infty, 0] \\ x - 2, & x \in (0, +\infty) \end{cases}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_1^2 f(x) dx = -\frac{1}{2}$.

**5p** **b)** Demonstrați că funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

**5p** **c)** Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = -1$ și $x = 0$ are aria egală cu $\frac{17}{3}$.

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale