Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE**

**Varianta 8**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right):\left(1-\frac{1}{12}\right) = \frac{12-4+3}{12}:\frac{11}{12} =$ **3p**

$= \frac{11}{12} \cdot \frac{12}{11} = 1$ **2p**

**2.** $f(-2)+f(2) = 8+8 =$ **2p**

$= 16 = 4 \cdot 4 = 4f(0)$ **3p**

**3.** $x^2-27 = (x-3)^2 \Rightarrow 6x-36 = 0$ **3p**

$x=6$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $M$ are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile **2p**

În mulțimea $M$ sunt 5 numere pare, deci sunt 5 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ **1p**

**5.** $8 = \frac{4+x_C}{2} \Rightarrow x_C = 12$ **3p**

$3 = \frac{3+y_C}{2} \Rightarrow y_C = 3$ **2p**

**6.** $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ **2p**

$\cos^2 30^\circ + \sin^2 60^\circ - 2\cos 30^\circ \cdot \sin 60^\circ = (\cos 30^\circ - \sin 60^\circ)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 0$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det M = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 =$ **3p**

$= 4-1 = 3$ **2p**

**b)** $A(a) \cdot A(a) = \begin{pmatrix} a^2+3 & a+2 \\ 3a+6 & 7 \end{pmatrix}$ **2p**

$4A(a)-I_2 = \begin{pmatrix} 4a-1 & 4 \\ 12 & 7 \end{pmatrix}$, deci $\begin{pmatrix} a^2+3 & a+2 \\ 3a+6 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4a-1 & 4 \\ 12 & 7 \end{pmatrix}$, de unde obținem $a=2$ **3p**

**c)** $aA(a)+M = \begin{pmatrix} a^2+2 & a+1 \\ 3a+1 & 2a+2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(aA(a)+M) = (a+1)(2a^2-3a+3)$ **3p**

Cum $2a^2-3a+3 \neq 0$, pentru orice număr real $a$, obținem $a=-1$ **2p**

***

Barem de evaluare şi de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.a)** $f(2)=2^3-4 \cdot 2^2+m \cdot 2+2=$ **3p**

$=8-16+2m+2=2m-6$, pentru orice număr real $m$ **2p**

**b)** $x_1+x_2+x_3=4$, $x_1x_2x_3=-2$ **2p**

Pentru orice număr real $m$, $E=x_1x_2x_3(x_1+x_2+x_3)=-8$, care este număr întreg **3p**

**c)** $f=X^3-4X^2+3X+2=(X-2)(X^2-2X-1)$ **2p**

$x_1=1-\sqrt{2}$, $x_2=2$, $x_3=1+\sqrt{2}$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x)=7 \cdot 3x^2-5 \cdot 2x+1=$ **2p**

$=21x^2-10x+1=(3x-1)(7x-1)$, $x \in \mathbb{R}$ **3p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{xf'(x)}{f(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(3x-1)(7x-1)}{7x^3-5x^2+x+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3\left(3-\frac{1}{x}\right)\left(7-\frac{1}{x}\right)}{x^3\left(7-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}=$ **2p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(3-\frac{1}{x}\right)\left(7-\frac{1}{x}\right)}{7-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}} = 3$ **3p**

**c)** $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in \left(-\infty, \frac{1}{7}\right] \Rightarrow f$ este crescătoare pe $\left(-\infty, \frac{1}{7}\right]$ și $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in \left[\frac{1}{7}, \frac{1}{3}\right] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $\left[\frac{1}{7}, \frac{1}{3}\right]$ **2p**

Cum $f(x) \le f\left(\frac{1}{7}\right)$, pentru orice $x \in \left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$ și $f\left(\frac{1}{7}\right) = \frac{52}{49}$, obținem $f(x) \le \frac{52}{49}$, pentru orice $x \in \left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$ **3p**

**2.a)** $\int_1^2 f(x)dx = \int_1^2 (x-2)dx = \left(\frac{x^2}{2}-2x\right) \bigg _1^2 =$ **3p**

$=(2-4)-\left(\frac{1}{2}-2\right) = -\frac{1}{2}$ **2p**

**b)** Cum $\lim_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x < 0}} (x^2+8x-2) = -2$, $\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} (x-2) = -2$ și $f(0)=-2$, obținem $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$, deci funcția $f$ este continuă în $x=0$ **3p**

Cum funcția $f$ este continuă pe $(-\infty, 0)$ și pe $(0, +\infty)$, obținem că $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, deci funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$ **2p**

**c)** $\mathcal{A} = \int_{-1}^0 f(x) dx = \int_{-1}^0 x^2+8x-2 dx = \int_{-1}^0 (-x^2-8x+2)dx =$ **2p**

$= \left(-\frac{x^3}{3}-\frac{8x^2}{2}+2x\right) \bigg _{-1}^0 = \frac{17}{3}$ **3p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale