Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 8**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $(1+i)^2 - 2i = 0$, unde $i^2 = -1$.

**5p** **2.** Determinați numărul real nemul $m$, știind că abscisa vârfului parabolei asociate funcției $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = mx^2 + 8x - 7$ este egală cu $12$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_4(x^2 - 10x + 40) = 2$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M = \{1, 2, 3, \dots, 100\}$, acesta să fie număr impar.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2, -1)$, $B(-2, 0)$ și $C(0, 3)$. Determinați lungimea vectorului $\vec{BD}$, știind că $ABCD$ este paralelogram.

**5p** **6.** Arătați că $\sin 3x + \sin 2x + \sin x = \sqrt{3}$, știind că $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ și $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ și $M(a) = I_2 + aA$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(M(1)) = 5$.

**5p** **b)** Demonstrați că $M(a)M(b) = M(a+b+4ab)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $a$ pentru care $M(a)M(a) = M(2)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = 5x + 5y - xy - 20$.

**5p** **a)** Arătați că $x * y = -(x - 5)(y - 5) + 5$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **b)** Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x * x \ge x$.

**5p** **c)** Calculați $1 * (-2) * 3 * (-4) * \dots * (-2018) * 2019$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x^2 + 6x + 9}{e^x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{-(x+1)(x+3)}{e^x}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $0 \le (x+3)(y+3) \le 4e^{\frac{x+y+2}{2}}$, pentru orice $x, y \in [-3, +\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x^3}{x+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^2 (x+1)f(x)dx = 4$.

**5p** **b)** Arătați că funcția $F: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \ln(x+1)$ este o primitivă a funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, $a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = \frac{1}{x^3}f(x)$, axa $Ox$, dreptele de ecuații $x=1$ și $x=a^2$ are aria egală cu $\ln 5$.