Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE**

**Varianta 8**

* **Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(1+i)^2 - 2i = 1 + 2i + i^2 - 2i =$ **3p**

$= 1 + (-1) = 0$ **2p**

**2.** $x_V = -\frac{b}{2a} \Rightarrow -\frac{8}{2m} = 12$ **3p**

$m = -\frac{1}{3}$ **2p**

**3.** $x^2 - 10x + 40 = 4^2 \Rightarrow x^2 - 10x + 24 = 0$ **3p**

$x = 4$ sau $x = 6$, care convin **2p**

**4.** Mulțimea $M$ are $100$ de elemente, deci sunt $100$ de cazuri posibile **2p**

În mulțimea $M$ sunt $50$ de numere impare, deci sunt $50$ de cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ **1p**

**5.** $\vec{BA} = 4\vec{i} - \vec{j}$, $\vec{BC} = 2\vec{i} + 3\vec{j} \Rightarrow \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{BC} = 6\vec{i} + 2\vec{j}$ **2p**

$BD = 2\sqrt{10}$ **3p**

**6.** $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ și $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}$ **2p**

$\sin \pi + \sin \frac{2\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{3} = 0 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $M(1) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(M(1)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 1 =$ **3p**

$= 8 - 3 = 5$ **2p**

**b)** $M(a)M(b) = (I_2 + aA)(I_2 + bA) = I_2 + aA + bA + abA \cdot A$ **2p**

Cum $A \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 12 & 12 \end{pmatrix} = 4A$, obținem $M(a)M(b) = I_2 + (a + b + 4ab)A = M(a + b + 4ab)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **3p**

**c)** $M(a + a + 4a^2) = M(2) \Leftrightarrow 4a^2 + 2a - 2 = 0$ **3p**

$a = -1$ sau $a = \frac{1}{2}$ **2p**

**2.a)** $x * y = -xy + 5x + 5y - 25 + 5 =$ **3p**

$= -x(y - 5) + 5(y - 5) + 5 = -(x - 5)(y - 5) + 5$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**b)** $-(x - 5)^2 + 5 \ge x \Leftrightarrow (x - 5)(x - 4) \le 0$ **3p**

$x \in [4, 5]$ **2p**

Barem de evaluare şi de notare

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**c)** $x * 5 = x$ și $5 * x = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$1 * (-2) * 3 * (-4) * 5 * \dots * (-2018) * 2019 = ((1 * (-2) * 3 * (-4)) * 5) * (-6) * \dots * (-2018) * 2019 =$

$= 5 * ((-6) * \dots * (-2018) * 2019) = 5$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{(2x+6)e^x - (x^2+6x+9)e^x}{(e^x)^2} =$ **3p**

$= \frac{-x^2-4x-3}{e^x} = \frac{-(x+1)(x+3)}{e^x}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+6x+9}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x+6}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$ **3p**

Dreapta de ecuație $y=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [-3, -1] \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[-3, -1]$ și $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [-1, +\infty) \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[-1, +\infty)$ și, cum $f(-1) = 4e$, obținem $f(x) \le 4e$, pentru orice $x \in [-3, +\infty)$ **3p**

$0 \le x+3 \le 2e^{\frac{x+1}{2}}$, pentru orice $x \in [-3, +\infty)$ și $0 \le y+3 \le 2e^{\frac{y+1}{2}}$, pentru orice $y \in [-3, +\infty)$, deci $0 \le (x+3)(y+3) \le 4e^{\frac{x+y+2}{2}}$, pentru orice $x, y \in [-3, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int_0^2 (x+1)f(x)dx = \int_0^2 x^3 dx = \frac{x^4}{4} \bigg _0^2 =$ **3p**

$= \frac{16}{4} - 0 = 4$ **2p**

**b)** $F'(x) = \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \ln(x+1) \right)' = \frac{3x^2}{3} - \frac{2x}{2} + 1 - \frac{1}{x+1} =$ **3p**

$= \frac{x^3+x^2-x^2-x+x+1-1}{x+1} = \frac{x^3}{x+1} = f(x), x \in (-1, +\infty)$ **2p**

**c)** $g(x) = \frac{1}{x+1} \Rightarrow \mathcal{A} = \int_1^{a^2} g(x) dx = \int_1^{a^2} \frac{1}{x+1} dx = \ln(x+1) \bigg _1^{a^2} = \ln(a^2+1) - \ln 2$ **3p**

$\ln(a^2+1) = \ln 10 \Leftrightarrow a^2-9=0$ și, cum $a > 1$, obținem $a=3$ **2p**

***