Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 8**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră numerele complexe $z_1 = 3 - i$ și $z_2 = 8 - 3i$. Arătați că $3z_1 - z_2 = 1$.

**5p** **2.** Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) + f(a+1) = 35$, unde $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - 5$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2 \cdot 4^x - 4^{x+1} + 32 = 0$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice relația $n(n+1) \ge 42$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(8,4)$, $B(0,6)$ și $C(m,5)$. Determinați numărul real $m$, știind că $\vec{AC} = \vec{CB}$.

**5p** **6.** Calculați lungimea ipotenuzei $BC$ a triunghiului dreptunghic $ABC$, știind că $AB = 6$ și aria triunghiului $ABC$ este egală cu $24$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln(a+1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real, $a > 0$.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1)) = 2$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(a)A(b) = A(ab+a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$, $a > 0$, $b > 0$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, $a > 0$, știind că $A(a)A(a)A(a) = A(7)$.

**2.** Se consideră $x_1, x_2, x_3$ rădăcinile polinomului $f = X^3 + mX^2 - mX + 2$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Determinați numărul real $m$, știind că $f(-2) = 0$.

**5p** **b)** Pentru $m = 1$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

**5p** **c)** Se consideră $a = \frac{x_1^2 + mx_1}{x_2x_3} + \frac{x_2^2 + mx_2}{x_1x_3} + \frac{x_3^2 + mx_3}{x_1x_2}$. Demonstrați că $a \in [3, +\infty)$, pentru orice număr real $m$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = e^x(x^2 + 4x + 1)$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = e^x(x+5)(x+1)$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$, în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu axa $Ox$.

**5p** **c)** Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care ecuația $f(x) = a$ are exact trei soluții reale.

**2.** Se consideră funcția $f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{\ln x}$.

**5p** **a)** Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este strict crescătoare pe intervalul $(1, +\infty)$.

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_{e}^{e^2} \frac{1}{x} f(x) dx$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, $a > e$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = \frac{1}{f(x)}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = e$ și $x = a$ are aria egală cu $2a$.

***