Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 8**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $3z_1 - z_2 = 3(3-i) - (8-3i) =$ **2p**

$= 9 - 3i - 8 + 3i = 1$ **3p**

**2.** $a - 5 + (a + 1) - 5 = 35$ **2p**

$2a - 9 = 35 \Rightarrow a = 22$ **3p**

**3.** $4^x(2 - 4) + 32 = 0 \Leftrightarrow 4^x = 16$ **3p**

$x = 2$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de o cifră are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile **2p**

Numerele naturale de o cifră care verifică relația sunt $6$, $7$, $8$ și $9$, deci sunt $4$ cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ **1p**

**5.** $\vec{AC} = \vec{CB}$, deci punctul $C$ este mijlocul segmentului $AB$ **2p**

$m = 4$ **3p**

**6.** $\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} \Rightarrow 24 = \frac{6 \cdot AC}{2} \Rightarrow AC = 8$ **3p**

$BC = 10$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 2 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 2$ **3p**

**b)** $A(a)A(b) = \begin{pmatrix} (a+1)(b+1) & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln((a+1)(b+1)) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} (ab+a+b)+1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ln((ab+a+b)+1) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A(ab+a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$, $a > 0$, $b > 0$ **2p**

**c)** $A(a)A(a) = A\left((a+1)^2 - 1\right)$, $A(a)A(a)A(a) = A\left((a+1)^3 - 1\right)$, pentru $a$ număr real, $a > 0$ **2p**

$(a+1)^3 - 1 = 7 \Leftrightarrow (a+1)^3 = 8$, deci $a = 1$ **3p**

**2.a)** $f(-2) = 6m - 6$, pentru $m$ număr real **3p**

$6m - 6 = 0 \Rightarrow m = 1$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**b)** $f=X^3+X^2-X+2=(X+2)\left(X^2-X+1\right)$ **2p**

$x_1=-2, x_2=\frac{1-i \sqrt{3}}{2}, x_3=\frac{1+i \sqrt{3}}{2}$ **3p**

**c)** $x_1+x_2+x_3=-m, x_1 x_2 x_3=-2$ **2p**

$a=\frac{x_1^3+m x_1^2}{x_1 x_2 x_3}+\frac{x_2^3+m x_2^2}{x_1 x_2 x_3}+\frac{x_3^3+m x_3^2}{x_1 x_2 x_3}=\frac{m x_1-2}{x_1 x_2 x_3}+\frac{m x_2-2}{x_1 x_2 x_3}+\frac{m x_3-2}{x_1 x_2 x_3}=\frac{m\left(x_1+x_2+x_3\right)-6}{x_1 x_2 x_3}=$

$=\frac{m^2+6}{2} \geq 3$, deci $a \in[3,+\infty)$, pentru orice număr real $m$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f^{\prime}(x)=e^x\left(x^2+4 x+1\right)+e^x(2 x+4)=$ **3p**

$=e^x\left(x^2+6 x+5\right)=e^x(x+5)(x+1), x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** Tangenta la graficul funcției $f$ în $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ este paralelă cu axa $O x \Leftrightarrow f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ **2p**

$e^{x_0}\left(x_0+5\right)\left(x_0+1\right)=0 \Leftrightarrow x_0=-5$ sau $x_0=-1$ **3p**

**c)** $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0, f(-5)=\frac{6}{e^5}, f(-1)=-\frac{2}{e}$ și $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ **2p**

Cum $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și $f$ este strict monotonă pe $(-\infty,-5)$, pe $(-5,-1)$ și pe

$(-1,+\infty)$, ecuația $f(x)=a$ are exact trei soluții reale $\Leftrightarrow a \in\left(0, \frac{6}{e^5}\right)$ **3p**

**2.a)** $F$ este o primitivă a funcției $f \Rightarrow F^{\prime}(x)=f(x)=\frac{1}{\ln x}, x \in(1,+\infty)$ **2p**

$F^{\prime}(x)>0$, pentru orice $x \in(1,+\infty)$, deci $F$ este strict crescătoare pe intervalul $(1,+\infty)$ **3p**

**b)** $\int_e^{e^2} \frac{1}{x} f(x) d x=\int_e^{e^2} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln x} d x=\left.\ln (\ln x)\right _e^{e^2}=$ **3p**

$=\ln 2-\ln 1=\ln 2$ **2p**

**c)** $g(x)=\ln x \Rightarrow \mathcal{A}=\int_e^a g(x) d x=\int_e^a \ln x d x=\left.x \ln x\right _e^a-\int_e^a x \cdot \frac{1}{x} d x=a \ln a-a$ **3p**

$a \ln a-a=2 a$ și, cum $a>e$, obținem $a=e^3$ **2p**

***