Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Clasa a XII-a**

**Simulare**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $(1+\sqrt{5})^2 - \sqrt{20} = 6$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 2x - 3$. Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x \cdot 8^{x+1} = 16^{2x}$.

**5p** **4.** Determinați numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 15.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(a, a+1)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A$ se află pe dreapta de ecuație $y = 2x - 1$.

**5p** **6.** Demonstrați că $(2\sin x + 3\cos x)^2 + (3\sin x - 2\cos x)^2 = 13$, pentru orice număr real $x$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ x-1 & x \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(2)) = 3$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(x) \cdot A(y) = A(2xy - x - y + 1)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, știind că $A(a) = A(x) \cdot A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = x + y - \frac{xy}{4}$.

**5p** **a)** Arătați că $6 * 2 = 5$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * (4x) = 6$.

**5p** **c)** Calculați $1 * 2 * 3 * \dots * 2019$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3 + \frac{x-3}{e^x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{4-x}{e^x}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Arătați că funcția $f$ este convexă pe $[5, +\infty)$.

**5p** **c)** Demonstrați că $x - 3 \le e^{x-4}$, pentru orice număr real $x$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 6x^2 + 4x + 1$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^1 f(x) dx = 5$.

**5p** **b)** Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, $a > 1$, pentru care $\int\limits_1^a \frac{f(x)}{x} dx = 13 + \ln a$.

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*