Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Clasa a XII-a**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(1+\sqrt{5})^2 = 6+2\sqrt{5}$ **3p**

$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ , deci $(1+\sqrt{5})^2 - \sqrt{20} = 6+2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 6$ **2p**

**2.** $f(x)=0 \Leftrightarrow x^2+2x-3=0$, deci $x=-3$ sau $x=1$ **3p**

Distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$ este egală cu $4$ **2p**

**3.** $2^{2x} \cdot 2^{3x+3} = 2^{8x} \Leftrightarrow 2^{5x+3} = 2^{8x}$ **3p**

$5x+3=8x$, deci $x=1$ **2p**

**4.** Numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu $15$ sunt formate cu cifrele $1$, $3$ și $5$ **3p**

Numerele sunt $135$, $153$, $315$, $351$, $513$ și $531$ **2p**

**5.** $a+1 = 2a-1$ **3p**

$a=2$ **2p**

**6.** $4\sin^2 x + 12\sin x \cos x + 9\cos^2 x + 9\sin^2 x - 12\sin x \cos x + 4\cos^2 x =$ **2p**

$= 13\sin^2 x + 13\cos^2 x = 13(\sin^2 x + \cos^2 x) = 13$, pentru orice număr real $x$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} =$ **3p**

$= 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3$ **2p**

**b)** $A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ x-1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y & y-1 \\ y-1 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} xy + xy - x - y + 1 & xy - x + xy - y \\ xy - y + xy - x & xy - x - y + 1 + xy \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 2xy - x - y + 1 & 2xy - x - y + 1 - 1 \\ 2xy - x - y + 1 - 1 & 2xy - x - y + 1 \end{pmatrix} = A(2xy - x - y + 1)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**c)** $A(x) \cdot A\left(\frac{1}{2}\right) = A\left(2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} - x - \frac{1}{2} + 1\right) = A\left(\frac{1}{2}\right)$, $A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(y) = A\left(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot y - \frac{1}{2} -

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**b)** $x+4x-\frac{x \cdot 4x}{4}=6 \Leftrightarrow x^2-5x+6=0$ **3p**

$x=2$ sau $x=3$ **2p**

**c)** $x * 4=4$ și $4 * y=4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

$1 * 2 * 3 * \ldots * 2019=((1 * 2 * 3) * 4) * (5 * 6 * \ldots * 2019)=4 * (5 * 6 * \ldots * 2019)=4$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x)=\frac{1 \cdot e^x-(x-3) \cdot e^x}{\left(e^x\right)^2}=$ **3p**

$=\frac{e^x(1-(x-3))}{e^{2x}}=\frac{4-x}{e^x}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f''(x)=\frac{x-5}{e^x}, x \in \mathbb{R}$ **3p**

$f''(x) \geq 0$, pentru orice $x \in[5,+\infty)$, deci funcția $f$ este convexă pe $[5,+\infty)$ **2p**

**c)** $x \in(-\infty, 4] \Rightarrow f'(x) \geq 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty, 4]$ și $x \in[4,+\infty) \Rightarrow f'(x) \leq 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[4,+\infty)$ **2p**

$f(x) \leq f(4)$, pentru orice număr real $x \Rightarrow 3+\frac{x-3}{e^x} \leq 3+\frac{1}{e^4}$, deci $x-3 \leq e^{x-4}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**2.a)** $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (6x^2+4x+1) dx = (2x^3+2x^2+x) \bigg _0^1 =$ **3p**

$=2+2+1-0=5$ **2p**

**b)** $F$ este o primitivă a funcției $f \Rightarrow F'(x)=f(x)=6x^2+4x+1, x \in \mathbb{R}$ **2p**

$f(x)>0 \Rightarrow F'(x)>0$, pentru orice număr real $x$, deci funcția $F$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$ **3p**

**c)** $\int_1^a \frac{f(x)}{x} dx = \int_1^a (6x+4+\frac{1}{x}) dx = (3x^2+4x+\ln x) \bigg _1^a = 3a^2+4a+\ln a-7$ **2p**

$3a^2+4a+\ln a-7=13+\ln a \Leftrightarrow 3a^2+4a-20=0$, de unde obținem $a=-\frac{10}{3}$ care nu convine, $a=2$ care convine **3p**

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*