Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că numărul $N=(4+3i)^2+(3-4i)^2$ este natural, unde $i^2=-1$.

**5p** **2.** Determinați numerele reale $a$, știind că punctul $A(a, a)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=2-x^2$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^x+5^{x+1}=30$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \dots, \sqrt{49}\}$, acesta să fie număr natural.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,5)$, $B(3,5)$ și $C(2,1)$. Determinați lungimea medianei din $B$ a triunghiului $ABC$.

**5p** **6.** Demonstrați că $(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2 = 2$, pentru orice număr real $x$.

**SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(x,y) = \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix}$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1,1))=2$.

**5p** **b)** Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(n-1,0)+A(n+1,0)=A(2018,0)$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, știind că există un număr real $x$ pentru care $A(x,1) \cdot A(x,1) = A(a,-2)$.

**2.** Se consideră polinomul $f = X^3 - 7X^2 + mX - 8$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $f(-1)+f(1)=-30$, pentru orice număr real $m$.

**5p** **b)** Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la $X^2-3X+1$, știind că $f$ se divide cu $X-2$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică.

**SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f:(-2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x^2+2x+1}{x+2}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \dfrac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}$, $x \in (-2, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $(-2, +\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + \dfrac{1}{x}$.

**5p** **a)** Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(1)=0$.

**5p** **b)** Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2] \to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$ este egal cu $\dfrac{97\pi}{10}$.

**5p** **c)** Determinați numărul $m \in (1, +\infty)$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{m} (f(x)-x^2) \ln x \, dx = \frac{1}{2}$.

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale