Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $N = 16 + 24i + 9i^2 + 9 - 24i + 16i^2 =$ **2p**

$= 16 - 9 + 9 - 16 = 0$, care este număr natural **3p**

**2.** $f(a) = a \Leftrightarrow 2 - a^2 = a \Leftrightarrow a^2 + a - 2 = 0$ **3p**

$a = -2$ sau $a = 1$ **2p**

**3.** $5^x(1 + 5) = 30 \Leftrightarrow 5^x = 5$ **3p**

$x = 1$ **2p**

**4.** Mulțimea $M$ are 49 de elemente, deci sunt 49 de cazuri posibile **1p**

În mulțimea $M$ sunt 7 numere naturale, deci sunt 7 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$ **2p**

**5.** Mijlocul segmentului $AC$ este punctul $M(2,3)$ **2p**

$BM = \sqrt{(3-2)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{5}$ **3p**

**6.** $(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x + \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x =$ **2p**

$= 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 2 \cdot 1 = 2$, pentru orice număr real $x$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1,1) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1,1)) = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1) =$ **3p**

$= 1 + 1 = 2$ **2p**

**b)** $\begin{pmatrix} n-1 & 0 \\ 0 & n-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 & 0 \\ 0 & n+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2018 & 0 \\ 0 & 2018 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2n & 0 \\ 0 & 2n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2018 & 0 \\ 0 & 2018 \end{pmatrix}$ **3p**

$n = 1009$ **2p**

**c)** $\begin{pmatrix} x & -1 \\ 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & -1 \\ 1 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 2 \\ -2 & a \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x^2 - 1 & -2x \\ 2x & x^2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 2 \\ -2 & a \end{pmatrix}$ **3p**

$x = -1$, de unde obținem $a = 0$ **2p**

**2.a)** $f(-1) = (-1)^3 - 7 \cdot (-1)^2 + m \cdot (-1) - 8 = -m - 16$ **2p**

$f(1) = 1^3 - 7 \cdot 1^2 + m \cdot 1 - 8 = m - 14 \Rightarrow f(-1) + f(1) = -m - 16 + m - 14 = -30$, pentru orice număr real $m$ **3p**

**b)** $f(2) = 0 \Rightarrow m = 14$, deci $f = X^3 - 7X^2 + 14X - 8$ **2p**

Câtul este $X - 4$ și restul este $X - 4$ **3p**

**c)** $x_1x_3 = x_2^2 \Rightarrow x_1x_2x_3 = x_2^3$ și, cum $x_1x_2x_3 = 8$, obținem $x_2 = 2$ **2p**

Polinomul $f$ are rădăcinile 1, 2 și 4, deci $m = 14$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{(2x+2)(x+2)-(x^2+2x+1) \cdot 1}{(x+2)^2} =$ **3p**

$= \frac{x^2+4x+3}{(x+2)^2} = \frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}, \ x \in (-2, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+2x+1}{x(x+2)} = 1$ **2p**

$\lim_{x \to +\infty} (f(x)-x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x+2} = 0$, deci dreapta de ecuație $y=x$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **3p**

**c)** $f''(x) = \frac{2}{(x+2)^3}, \ x \in (-2, +\infty)$ **2p**

$f''(x) > 0$, pentru orice $x \in (-2, +\infty)$, deci funcția $f$ este convexă pe $(-2, +\infty)$ **3p**

**2.a)** $F : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \ F(x) = \frac{x^3}{3} + \ln x + c$, unde $c \in \mathbb{R}$ **3p**

Cum $F(1) = \frac{1}{3} + c$, obținem $F(1) = 0 \Leftrightarrow c = -\frac{1}{3}$, deci $F(x) = \frac{x^3}{3} + \ln x - \frac{1}{3}$ **2p**

**b)** $g(x) = x^2 + \frac{1}{x} \Rightarrow V = \pi \int_1^2 g^2(x) \, dx = \pi \int_1^2 \left( x^4 + 2x + \frac{1}{x^2} \right) dx = \pi \cdot \left( \frac{x^5}{5} + x^2 - \frac{1}{x} \right) \bigg _1^2 =$ **3p**

$= \pi \left( \frac{32}{5} + 4 - \frac{1}{2} - \frac{1}{5} - 1 + 1 \right) = \frac{97\pi}{10}$ **2p**

**c)** $\int_1^m (f(x) - x^2) \ln x \, dx = \int_1^m \frac{1}{x} \ln x \, dx = \frac{1}{2} \ln^2 x \bigg _1^m = \frac{1}{2} \ln^2 m$ **3p**

$\frac{1}{2} \ln^2 m = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \ln m = -1$ sau $\ln m = 1$, deci $m = \frac{1}{e}$, care nu convine sau $m = e$, care convine **2p**

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*