Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Clasa a XII-a**

**Simulare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Determinați numărul complex $z$, știind că $3z + 2\overline{z} = 5 + 2i$, unde $\overline{z}$ este conjugatul lui $z$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f \circ f \circ f)(x) = x + 3$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(2x + 3) - \log_3 x = 1$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să se dividă cu 10.

**5p** **5.** Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u} = (a + 1)\vec{i} + (5a - 1)\vec{j}$ și $\vec{v} = \vec{i} + 3\vec{j}$ sunt coliniari.

**5p** **6.** Calculați aria triunghiului $ABC$, știind că $AB = 6$, $AC = 10$ și $\cos A = \frac{3}{5}$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $M(x) = \begin{pmatrix} x+1 & 0 & x+2 \\ 0 & x & 0 \\ 3-x & 0 & 4-x \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Calculați $\det(M(-1))$.

**5p** **b)** Demonstrați că $M(x) + M(y) = M(0) + M(x + y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Determinați perechile de numere naturale $m$ și $n$, știind că suma elementelor matricei $M(m) \cdot M(1)$ este egală cu suma elementelor matricei $M(1) \cdot M(n)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = 4xy + 4x + 4y - 3$.

**5p** **a)** Demonstrați că $x * y = 1 - 4(x - 1)(y - 1)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **b)** Arătați că $x * \frac{1}{x} \ge 1$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * x * x * x = x$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 5\ln x - x^2 - 3x$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{(1 - x)(2x + 5)}{x}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Demonstrați că funcția $f$ este concavă pe $(0, +\infty)$.

**5p** **c)** Demonstrați că $5\ln x \le x^2 + 3x - 4$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = (x^2 + 4x + 5)e^x$.

**5p** **a)** Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_0^1 (f(x) - x^2e^x - 5e^x) dx$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\frac{e^2 - 1}{e^3} \le \int\limits_{-3}^{-1} f(x) dx \le \frac{2(e^2 - 1)}{e^3}$.

***