Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Clasa a XII-a**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $3(a+ib)+2(a-ib)=5+2i \Leftrightarrow 5a+ib=5+2i$, unde $z=a+ib$ cu $a$ și $b$ numere reale **3p**

$a=1$ și $b=2$, deci $z=1+2i$ **2p**

**2.** $(f \circ f)(x)=f(x+a)=x+2a$, $(f \circ f \circ f)(x)=x+3a$ **3p**

$x+3a=x+3$, pentru orice număr real $x$, deci $a=1$ **2p**

**3.** $\log_3 \frac{2x+3}{x}=1 \Rightarrow \frac{2x+3}{x}=3$ **3p**

$2x+3=3x \Rightarrow x=3$, care convine **2p**

**4.** Sunt 900 de numere naturale de trei cifre, deci sunt 900 de cazuri posibile **1p**

Sunt 90 de numere naturale de trei cifre care se divid cu 10, deci sunt 90 de cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{1}{10}$ **2p**

**5.** $\frac{a+1}{1} = \frac{5a-1}{3} \Leftrightarrow 3a+3=5a-1$ **3p**

$a=2$ **2p**

**6.** $\sin A = \frac{4}{5}$ **2p**

$\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{AB \cdot AC \cdot \sin A}{2} = \frac{6 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5}}{2} = 24$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $M(-1) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 0 & 5 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(M(-1)) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 0 & 5 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0+0+0-(-4)-0-0=4$ **3p**

**b)** $M(x)+M(y) = \begin{pmatrix} x+1 & 0 & x+2 \\ 0 & x & 0 \\ 3-x & 0 & 4-x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y+1 & 0 & y+2 \\ 0 & y & 0 \\ 3-y & 0 & 4-y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y+2 & 0 & x+y+4 \\ 0 & x+y & 0 \\ 6-x-y & 0 & 8-x-y \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (x+y)+1 & 0 & (x+y)+2 \\ 0 & x+y & 0 \\ 3-(x+y) & 0 & 4-(x+y) \end{pmatrix} = M(0)+M(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**c)** $M(m) \cdot M(1) = \begin{pmatrix} 4m+6 & 0 & 6m+9 \\ 0 & m & 0 \\ 14-4m & 0 & 21-6m \end{pmatrix}$, $M(1) \cdot M(n) = \begin{pmatrix} 11-n & 0 & 16-n \\ 0 & n & 0 \\ 11-n & 0 & 16-n \end{pmatrix}$, unde $m$ și $n$ sunt numere naturale **2p**

$50+m = 54-3n \Leftrightarrow m+3n=4$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, obținem $m=1, \ n=1$ sau $m=4, \ n=0$ **3p**

**2.a)** $x * y = 1-4xy+4x+4y-4=$ **3p**

$= 1-4x(y-1)+4(y-1) = 1-4(x-1)(y-1)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**b)** $x * \frac{1}{x} = 1-4(x-1)\left(\frac{1}{x}-1\right) = 1-4(x-1) \cdot \frac{1-x}{x} =$ **3p**

$= 1 + \frac{4(x-1)^2}{x} \geq 1$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**c)** $x * x = 1-4(x-1)^2, \quad x * x * x = 1+4^2(x-1)^3, \quad x * x * x * x = 1-4^3(x-1)^4$, unde $x$ este număr real **3p**

$(x-1)\left(1+4^3(x-1)^3\right) = 0$, deci $x = \frac{3}{4}$ sau $x=1$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{x} - 2x - 3 =$ **3p**

$= \frac{-2x^2-3x+5}{x} = \frac{(1-x)(2x+5)}{x}, \ x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $f''(x) = \frac{-2x^2-5}{x^2}, \ x \in (0, +\infty)$ **2p**

$f''(x) < 0$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$, deci funcția $f$ este concavă pe $(0, +\infty)$ **3p**

**c)** $f$ este crescătoare pe $(0,1]$ și descrescătoare pe $[1, +\infty)$, deci $f(x) \leq f(1)$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **3p**

$f(1) = -4 \Rightarrow 5\ln x - x^2 - 3x \leq -4$, deci $5\ln x \leq x^2 + 3x - 4$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $F$ este o primitivă a funcției $f \Rightarrow F'(x) = f(x) = \left(x^2+4x+5\right)e^x, \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

$f(x) > 0 \Rightarrow F'(x) > 0$, pentru orice număr real $x$, deci funcția $F$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$ **3p**

**b)** $\int\limits_0^1 \left(\left(x^2+4x+5\right)e^x - x^2e^x - 5e^x\right)dx = \int\limits_0^1 4xe^x dx = 4(x-1)e^x \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 0 - 4 \cdot (-1) = 4$ **2p**

**c)** Pentru orice $x \in [-3, -1]$, obținem $1 \leq x^2+4x+5 \leq 2$, deci $e^x \leq f(x) \leq 2e^x$ **2p**

$\int\limits_{-3}^{-1} e^x dx \leq \int\limits_{-3}^{-1} f(x) dx \leq 2 \int\limits_{-3}^{-1} e^x dx$ și, cum $\int\limits_{-3}^{-1} e^x dx = \frac{e^2-1}{e^3} \Rightarrow \frac{e^2-1}{e^3} \leq \int\limits_{-3}^{-1} f(x) dx \leq \frac{2(e^2-1)}{e^3}$ **3p**

***

Simulare pentru clasa a XII-a