Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că numărul $a = \left( \frac{1}{1-i} - \frac{1}{1+i} \right)^2$ este întreg, unde $i^2 = -1$.

**5p** **2.** Determinați cel mai mare număr natural $m$ pentru care soluțiile ecuației $x^2 - 7x + m = 0$ sunt numere reale.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^x + 3^{x+1} + 3^{x+2} = 117$.

**5p** **4.** Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 36 de submulțimi cu două elemente.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,1)$, $B(3,-3)$ și $C(3,0)$. Determinați ecuația medianei din $C$ a triunghiului $ABC$.

**5p** **6.** Determinați $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ pentru care $\cos x \sin(\pi - x) - \sin x \cos(\pi + x) = 1$.

**SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 3 & 2a-1 & 1 \\ a-3 & a & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} 2x + ay + z = 1 \\ 3x + (2a-1)y + z = 1 \\ (a-3)x + ay + z = 2a-1 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0)) = -5$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det(A(a)) = 0$.

**5p** **c)** Pentru $a=1$, determinați soluțiile $(x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $x_0^2 = y_0 z_0$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = 5xy - 5(x+y) + 6$.

**5p** **a)** Demonstrați că $x * y = 5(x-1)(y-1) + 1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **b)** Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x * x * x < 26$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care $\frac{1}{n^2} * \frac{1}{(n+1)^2} * \frac{1}{(n+2)^2} = -19$.

**SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \ln x - \frac{2(x-1)}{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{x-2}{x^2}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției $f$ în care tangenta la graficul funcției $f$ este perpendiculară pe dreapta de ecuație $y = x$.

**5p** **c)** Demonstrați că $f\left( \frac{\pi}{2} \right) < 0$.

***

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^{2}+1$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{3} f(x) d x=12$.

**5p** **b)** Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x}{f(x)}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$.

**5p** **c)** Demonstrați că există un unic număr real $x$ pentru care $\int\limits_{0}^{x} e^{f(t)} d t=x$.