Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\frac{1}{1-i} - \frac{1}{1+i} = \frac{(1+i)-(1-i)}{1^2-i^2} = \frac{2i}{2} = i$ **3p**

$a = i^2 = -1$, care este număr întreg **2p**

**2.** $\Delta = 49 - 4m$ **2p**

$\Delta \geq 0 \Leftrightarrow m \in \left( -\infty, \frac{49}{4} \right]$, deci cel mai mare număr natural $m$ pentru care soluțiile ecuației sunt numere reale este 12 **3p**

**3.** $3^x(1+3+3^2) = 117 \Leftrightarrow 3^x = 9$ **3p**

$x = 2$ **2p**

**4.** $C_n^2 = 36$, unde $n$ este numărul de elemente ale mulțimii **3p**

$\frac{n(n-1)}{2} = 36$, deci $n = 9$ **2p**

**5.** Mijlocul segmentului $AB$ este punctul $M(1, -1)$ **2p**

Ecuația medianei din $C$ este $y+1 = \frac{1}{2}(x-1)$, deci $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ **3p**

**6.** $\cos x \sin x + \sin x \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin 2x = 1$ **3p**

Cum $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$, obținem $x = \frac{\pi}{4}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= -2 + 0 + 0 - 3 - 0 - 0 = -5$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 2 & a & 1 \\ 3 & 2a-1 & 1 \\ a-3 & a & 1 \end{vmatrix} = -a^2 + 6a - 5$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$a = 1$ sau $a = 5$ **2p**

**c)** Pentru $a = 1$, sistemul este $\begin{cases} 2x + y + z = 1 \\ 3x + y + z = 1 \\ -2x + y + z = 1 \end{cases}$ și, scăzând primele două ecuații, obținem $x_0 = 0$, deci $y_0 + z_0 = 1$ **3p**

$x_0^2 = y_0 z_0 \Rightarrow y_0 z_0 = 0$, deci soluțiile sunt $(0,1,0)$ sau $(0,0,1)$, care convin **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.a)** $x * y = 5xy - 5x - 5y + 5 + 1 =$ **3p**

$= 5x(y - 1) - 5(y - 1) + 1 = 5(x - 1)(y - 1) + 1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**b)** $x * x = 5(x - 1)^2 + 1$, $x * x * x = 25(x - 1)^3 + 1$ **2p**

$(x - 1)^3 < 1 \Leftrightarrow x \in (-\infty, 2)$ **3p**

**c)** $25\left(\frac{1}{n}-1\right)\left(\frac{1}{n}+1\right)\left(\frac{1}{n+1}-1\right)\left(\frac{1}{n+1}+1\right)\left(\frac{1}{n+2}-1\right)\left(\frac{1}{n+2}+1\right)+1 = -19 \Leftrightarrow \frac{(1-n)(n+3)}{n(n+2)} = -\frac{4}{5}$ **3p**

Cum $n$ este număr natural nenul, obținem $n = 3$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2x - 2(x - 1)}{x^2} =$ **3p**

$= \frac{x - 2x + 2x - 2}{x^2} = \frac{x - 2}{x^2}$, $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $(a, f(a))$ este perpendiculară pe dreapta de ecuație $y = x \Leftrightarrow f'(a) = -1$ **3p**

$\frac{a - 2}{a^2} = -1 \Leftrightarrow a^2 + a - 2 = 0 \Leftrightarrow a = -2$, care nu convine sau $a = 1$, care convine **2p**

**c)** $f'(x) < 0$, pentru orice $x \in (0, 2) \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(0, 2)$ **2p**

$0 < 1 < \frac{\pi}{2} < 2 \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2}\right) < f(1)$ și, cum $f(1) = 0$, obținem $f\left(\frac{\pi}{2}\right) < 0$ **3p**

**2.a)** $\int\limits_0^3 f(x) dx = \int\limits_0^3 (x^2 + 1) dx = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \bigg _0^3 =$ **3p**

$= \frac{27}{3} + 3 - 0 = 12$ **2p**

**b)** $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \Rightarrow \mathcal{A} = \int\limits_0^1 g(x) dx = \int\limits_0^1 \frac{x}{x^2 + 1} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{2} \ln 2$ **2p**

**c)** Funcția $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $h(x) = \int\limits_0^x e^{f(t)} dt - x$ este derivabilă și $h'(x) = e^{x^2 + 1} - 1$ **2p**

$h'(x) > 0$ pentru orice număr real $x$, deci $h$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R} \Rightarrow h$ este injectivă și, cum $h(0) = 0$, există un unic număr real $x$ pentru care $\int\limits_0^x e^{f(t)} dt = x$ **3p**