Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Clasa a XII-a**

**Simulare**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că numărul $(\sqrt{2}-1)(3\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}+1)^{2}$ este întreg.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=(2 m-1) x-5$, unde $m$ este număr real. Determinați numerele reale $m$, știind că $ f(1) =4$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2 x+3}=3 x+2$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților.

**5p** **5.** În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(2,1)$ și $C(0, a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ astfel încât $A C \perp O B$.

**5p** **6.** Determinați măsura unghiului $A$ al triunghiului $A B C$, știind că $B C=6 \sqrt{2}$, $A C=12$ și $m(\sphericalangle B)=45^{\circ}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y=(x-2)(y-2)+2$.

**5p** **1.** Calculați $\sqrt{2} * \sqrt{4}$.

**5p** **2.** Demonstrați că legea de compoziție „$*$” este comutativă.

**5p** **3.** Verificați dacă $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $2^{x} * 4^{x}=2$.

**5p** **5.** Determinați valorile reale $x$ pentru care $x *(x+1) \leq 8$.

**5p** **6.** Calculați $1 * \sqrt{2} * \sqrt{3} * \ldots * \sqrt{10}$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $M=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$, $I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a)=M+2 a I_{2}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Calculați $\det M$.

**5p** **2.** Determinați numerele reale $a$, știind că $\det(A(a))=7$.

**5p** **3.** Arătați că $M \cdot A(a)=A(a) \cdot M$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **4.** Determinați inversa matricei $A(-1)$.

**5p** **5.** Determinați numărul real $a, a>0$, pentru care suma elementelor matricei $A\left(\log _{2} a\right)$ este egală cu $37$.

**5p** **6.** Demonstrați că, pentru orice număr întreg $m$, numărul $\det(A(m))$ este natural impar.

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare