Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2019**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Clasa a XII-a**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(\sqrt{2}-1)(3\sqrt{2}+1)=5-2\sqrt{2}$ **2p**

$(\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}$, deci $(\sqrt{2}-1)(3\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}+1)^2=5-2\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}=8 \in \mathbb{Z}$ **3p**

**2.** $f(1)=2m-6$, deci $2m-6=-4$ sau $2m-6=4$ **3p**

$m=1$ sau $m=5$ **2p**

**3.** $2x+3=(3x+2)^2 \Rightarrow 9x^2+10x+1=0$ **3p**

$x=-1$ care nu convine, $x=-\dfrac{1}{9}$ care convine **2p**

**4.** Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile **1p**

Sunt 36 de numere naturale de două cifre care au cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților, deci sunt 36 de cazuri favorabile **2p**

$p = \dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \dfrac{2}{5}$ **2p**

**5.** $m_{AC}=-a+1$, $m_{OB}=\dfrac{1}{2}$ **2p**

$\dfrac{1}{2}(-a+1)=-1 \Leftrightarrow a=3$ **3p**

**6.** $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B} \Rightarrow \dfrac{6\sqrt{2}}{\sin A} = \dfrac{12}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow \sin A = \dfrac{1}{2}$ **3p**

$m(\sphericalangle A)=30^\circ$, care convine, sau $m(\sphericalangle A)=150^\circ$, care nu convine, deoarece $m(\sphericalangle B)=45^\circ$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $\sqrt{2} * \sqrt{4} = (\sqrt{2}-2)(\sqrt{4}-2)+2=$ **3p**

$=(\sqrt{2}-2)(2-2)+2=2$ **2p**

**2.** $x * y = (x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

$y * x = (y-2)(x-2)+2 = (x-2)(y-2)+2 = x * y$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$*$” este comutativă **3p**

**3.** $x * 3 = (x-2)(3-2)+2 = x-2+2 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$3 * x = (3-2)(x-2)+2 = x-2+2 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**4.** $(2^x-2)(4^x-2)+2=2 \Leftrightarrow 2^x-2=0$ sau $4^x-2=0$ **3p**

$x=1$ sau $x=\dfrac{1}{2}$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**5.** $(x-2)(x+1-2)+2 \leq 8 \Leftrightarrow x^2-3x-4 \leq 0$ **3p**

$x \in [-1,4]$ **2p**

**6.** $x * 2 = 2$ și $2 * y = 2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

$1 * \sqrt{2} * \sqrt{3} * \dots * \sqrt{10} = \left(\left(1 * \sqrt{2} * \sqrt{3}\right) * \sqrt{4}\right) * \left(\sqrt{5} * \sqrt{6} * \dots * \sqrt{10}\right) = 2 * \left(\sqrt{5} * \sqrt{6} * \dots * \sqrt{10}\right) = 2$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $\det M = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) =$ **3p**

$= 6 + 1 = 7$ **2p**

**2.** $A(a) = \begin{pmatrix} 2+2a & 1 \\ -1 & 3+2a \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(a)) = \begin{vmatrix} 2+2a & 1 \\ -1 & 3+2a \end{vmatrix} = 4a^2 + 10a + 7$ **3p**

$4a^2 + 10a + 7 = 7 \Leftrightarrow a = -\frac{5}{2}$ sau $a = 0$ **2p**

**3.** $M \cdot A(a) = M \cdot (M + 2aI_2) = M \cdot M + 2aM$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$A(a) \cdot M = (M + 2aI_2) \cdot M = M \cdot M + 2aM = M \cdot A(a)$, pentru orice număr real $a$ **3p**

**4.** $A(-1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $\det(A(-1)) = 1 \neq 0$ **2p**

$(A(-1))^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ **3p**

**5.** Suma elementelor matricei $A(\log_2 a)$ este $5 + 4\log_2 a$ **2p**

$5 + 4\log_2 a = 37 \Leftrightarrow \log_2 a = 8$, deci $a = 256$ **3p**

**6.** Pentru orice număr întreg $m$, numărul $\det(A(m)) = 4m^2 + 10m + 7$ este întreg și, cum $4m^2 + 10m + 7 > 0$, obținem că numărul $\det(A(m))$ este natural **2p**

Cum $4m^2$ și $10m$ sunt numere pare, obținem că numărul $\det(A(m))$ este natural impar **3p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare \

Simulare pentru clasa a XII-a